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Rêves Vision
Seconde pro

Cagnotte qui monte, carte prépayée qui baisse

Énoncé

Pendant les 88 semaines d'été, un jeune suit deux montants, en euros, en fonction du nombre xx de semaines écoulées.
Sa cagnotte pour s'acheter une console grossit régulièrement : elle est modélisée par la fonction affine E(x)=8x+30E(x) = 8x + 30.
Le solde restant sur sa carte prépayée de streaming diminue : il vaut 7878 € après 33 semaines et 5858 € après 88 semaines. Ce solde est une fonction affine R(x)=ax+bR(x) = ax + b.
1. Déterminer l'expression de R(x)R(x).
2. Compléter un tableau de valeurs de EE et de RR pour x=0,3,5,8x = 0, 3, 5, 8, puis décrire les deux droites à tracer.
3. Résoudre graphiquement le système afin de trouver la semaine où les deux montants sont égaux, et donner ce montant.
4. Indiquer, selon la semaine, quel montant est le plus élevé.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le solde restant passe par les points (3 ;78)(3\,;78) et (8 ;58)(8\,;58). Applique la formule a=yB−yAxB−xAa = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} : comme le solde baisse, tu dois trouver un coefficient directeur négatif.
  2. Pour trouver bb, remplace dans R(x)=ax+bR(x) = ax + b les coordonnées d'un des deux points (par exemple x=3x = 3 et R(3)=78R(3) = 78), puis isole bb.
  3. La solution du système est le point où les deux droites se croisent : cherche la valeur de xx pour laquelle E(x)E(x) et R(x)R(x) donnent le même résultat. La première coordonnée du point est la semaine, la seconde le montant commun.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Traduire l'énoncé en deux points

    Le solde restant donne deux couples (nombre de semaines ; solde). On obtient les points A(3 ;78)A(3\,;78) et B(8 ;58)B(8\,;58). La droite de la fonction affine RR passe par ces deux points.

  2. 2. Calculer le coefficient directeur de R

    On applique la formule du coefficient directeur : a=yB−yAxB−xA=58−788−3=−205=−4a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{58 - 78}{8 - 3} = \dfrac{-20}{5} = -4. Le résultat est négatif, ce qui est cohérent : le solde diminue au fil des semaines, donc la fonction est décroissante. On en déduit a=−4a = -4 (le solde baisse de 44 € par semaine).

  3. 3. Calculer l'ordonnée à l'origine de R

    On remplace dans R(x)=−4x+bR(x) = -4x + b les coordonnées du point A(3 ;78)A(3\,;78) : 78=−4×3+b78 = -4 \times 3 + b, donc 78=−12+b78 = -12 + b. On isole bb : b=78+12=90b = 78 + 12 = 90. On en déduit b=90b = 90, donc l'expression est R(x)=−4x+90R(x) = -4x + 90 (le solde de départ, à 00 semaine, est de 9090 €).

  4. 4. Dresser le tableau de valeurs

    On calcule les deux montants pour chaque semaine. Par exemple E(5)=8×5+30=40+30=70E(5) = 8 \times 5 + 30 = 40 + 30 = 70 et R(5)=−4×5+90=−20+90=70R(5) = -4 \times 5 + 90 = -20 + 90 = 70.

    | xx (semaines) | 00 | 33 | 55 | 88 |
    |---|---|---|---|---|
    | E(x)E(x) (€) | 3030 | 5454 | 7070 | 9494 |
    | R(x)R(x) (€) | 9090 | 7878 | 7070 | 5858 |

  5. 5. Tracer les deux droites

    La droite de la cagnotte EE part du point (0 ;30)(0\,;30) et monte (coefficient directeur +8+8) : elle passe par (8 ;94)(8\,;94). La droite du solde RR part plus haut, du point (0 ;90)(0\,;90), et descend (coefficient directeur −4-4) : elle passe par (8 ;58)(8\,;58). L'une montant et l'autre descendant, les deux droites se croisent forcément.

  6. 6. Lire le point d'intersection

    Les deux droites se coupent au point de coordonnées (5 ;70)(5\,;70). La première coordonnée donne la semaine, la seconde le montant commun. On en déduit que c'est à la semaine 55 que la cagnotte et le solde restant sont égaux, à 7070 € chacun. On le vérifie par le calcul fait au tableau : E(5)=R(5)=70E(5) = R(5) = 70 €.

  7. 7. Comparer selon la semaine

    Avant la semaine 55, la droite de RR est au-dessus de celle de EE : le solde de la carte est le montant le plus élevé. Après la semaine 55, c'est la droite de EE qui passe au-dessus : la cagnotte devient le montant le plus élevé. Le système a pour solution (5 ;70)(5\,;70) : à la semaine 55 les deux montants valent 7070 € ; avant, le solde restant est le plus élevé, après, c'est la cagnotte.
Réponse finale
R(x)=−4x+90 ; solution du systeˋme:(5 ;70) ; eˊgaliteˊ semaine 5 aˋ 70 € ; R>E avant, E>R apreˋsR(x) = -4x + 90 \ ; \ \text{solution du système} : (5\,;70) \ ; \ \text{égalité semaine } 5 \text{ à } 70 \ \text{€} \ ; \ R > E \text{ avant, } E > R \text{ après}
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