Résoudre (x − 2) divisé par (x + 1) ≤ 0 par un tableau de signes

Le quotient n'existe que si son dénominateur est non nul. On résout $x + 1 = 0$, soit $x = -1.$ La valeur interdite est donc $x = -1$ : elle sera exclue des solutions et marquée par une double barre.

Le membre de gauche est déjà comparé à $0.$ On cherche où le numérateur s'annule : $x - 2 = 0$ donne $x = 2.$ Les deux valeurs à placer sur la droite réelle sont, dans l'ordre croissant, $-1$ puis $2.$

Chaque facteur est du premier degré avec un coefficient de $x$ positif, donc négatif avant sa racine et positif après. Le numérateur $x - 2$ est négatif avant $2$, positif après ; le dénominateur $x + 1$ est négatif avant $-1$, positif après.

On applique la règle des signes pour le quotient, ligne par ligne (la double barre marque la valeur interdite $x = -1$) :

| $x$ | $-\infty$ | | $-1$ | | $2$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x - 2$ | | $-$ | | $-$ | $0$ | $+$ | |
| $x + 1$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | $+$ | |
| $\dfrac{x-2}{x+1}$ | | $+$ | $\|\|$ | $-$ | $0$ | $+$ | |

Avant $-1$, le quotient de deux négatifs est positif ; entre $-1$ et $2$, un négatif divisé par un positif est négatif ; après $2$, deux positifs donnent un positif.

On cherche où le quotient est négatif ou nul ($\le 0$). La dernière ligne est négative sur $]-1\,;\,2[$ et nulle en $x = 2.$ On inclut $2$ (inégalité large), mais on exclut $-1$ (valeur interdite, double barre).

L'ensemble des solutions est l'intervalle $S = \,]-1\,;\,2].$ (Contrôle : $x = 0$ donne $\dfrac{0 - 2}{0 + 1} = -2 \le 0$, accepté ; $x = 3$ donne $\dfrac{1}{4} > 0$, exclu ; $x = -2$ donne $\dfrac{-4}{-1} = 4 > 0$, exclu.) Les solutions sont donc tous les réels strictement supérieurs à $-1$ et inférieurs ou égaux à $2.$