Seconde · Chapitre 7

Équations et inéquations

Cours de Seconde sur les équations et inéquations : premier degré, équation produit nul, équation quotient avec valeur interdite, inéquations et tableau de signes.

8 exercices corrigés · Seconde générale et technologique · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Calcul littéral et équations

Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie. Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes celles qui vérifient une inégalité : la réponse est alors un intervalle. Ce chapitre rassemble les techniques de base du programme de Seconde, du premier degré jusqu’au tableau de signes.

L’équation du premier degré

Équation du premier degré

Une équation du premier degré à une inconnue est une équation qui peut s’écrire sous la forme $ax + b = 0,$ où $a$ et $b$ sont deux nombres connus, avec $a \neq 0$ .

Solution de ax + b = 0

Si $a \neq 0$ , l’équation $ax + b = 0$ a une unique solution : $x = -\dfrac{b}{a}.$ On l’obtient en isolant $x$ : on retire $b$ aux deux membres ( $ax = -b$ ), puis on divise par $a$ .

Résoudre une équation du premier degré

Développer et réduire chaque membre s’il y a des parenthèses.
Regrouper les termes en $x$ d’un côté, les nombres de l’autre.
Diviser par le coefficient de $x$ (non nul) pour isoler $x$ .

Par exemple, $3x - 12 = 0$ donne $3x = 12$ , puis $x = \dfrac{12}{3} = 4.$

L’équation produit nul

Un produit est nul

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : $A \times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0.$

Résoudre une équation produit nul

Lorsqu’une équation se présente comme un produit égal à zéro, on résout séparément chaque facteur égal à $0$ . Chaque facteur donne une équation du premier degré, et on réunit toutes les solutions.

Par exemple, $(2x - 1)(x + 3) = 0$ donne : $2x - 1 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 3 = 0,$ c’est-à-dire $x = \dfrac{1}{2}$ ou $x = -3.$ L’équation a deux solutions.

L’équation quotient

Un quotient est nul

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul, et que son dénominateur ne l’est pas : $\dfrac{A}{B} = 0 \iff A = 0 \ \text{ ET } \ B \neq 0.$ La valeur de $x$ qui annule le dénominateur est appelée valeur interdite : pour cette valeur, le quotient n’existe pas. (résolution d’équations quotient - programme 2026)

Résoudre une équation quotient

Chercher la (ou les) valeur(s) interdite(s) en résolvant « dénominateur $= 0$ ».
Résoudre « numérateur $= 0$ ».
Écarter les solutions du numérateur qui seraient des valeurs interdites.

Par exemple, pour $\dfrac{x - 4}{x + 2} = 0$ : la valeur interdite est $x = -2$ (qui annule $x+2$ ). Le numérateur s’annule pour $x = 4$ , qui n’est pas interdit : la solution est donc $x = 4.$

Les inéquations du premier degré

Règles de manipulation d'une inéquation

On peut, sans changer les solutions d’une inéquation :

ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres ;
multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre strictement positif.

En revanche, multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif inverse le sens de l’inégalité ( $\le$ devient $\ge$ , et $<$ devient $>$ ).

Résoudre une inéquation du premier degré

On isole $x$ comme pour une équation, en surveillant le sens de l’inégalité.

Par exemple, $-2x + 1 \ge 7$ donne $-2x \ge 6$ . On divise par $-2$ , qui est négatif, donc on inverse : $x \le \dfrac{6}{-2} = -3.$ L’ensemble des solutions est l’intervalle $S = \,]-\infty\,;\,-3].$

Ne pas oublier d'inverser le sens

L’erreur la plus fréquente est de garder le même sens après une division par un nombre négatif. Sur $-2x \ge 6$ , écrire $x \ge -3$ est faux : par exemple $x = 0$ donnerait $-2 \times 0 = 0$ , qui n’est pas $\ge 6$ . La bonne réponse est bien $x \le -3.$

Le tableau de signes

Signe d'un facteur du premier degré

Un facteur $ax + b$ s’annule en $x = -\dfrac{b}{a}$ et change de signe de part et d’autre de cette valeur. Sur une ligne, on note où il est négatif, où il s’annule (un $0$ ), et où il est positif.

Résoudre une inéquation produit ou quotient

Pour une inéquation où interviennent un produit ou un quotient de facteurs du premier degré :

Ramener l’inéquation à une comparaison à $0$ (un membre vaut $0$ ).
Trouver les valeurs qui annulent chaque facteur (et les valeurs interdites pour un quotient).
Dresser un tableau de signes : une ligne par facteur, une ligne pour le produit/quotient (règle des signes).
Lire l’intervalle solution selon le signe demandé.

Pour un quotient, on place une double barre sous la valeur interdite : elle est toujours exclue des solutions.

Exemple de tableau de signes

Pour étudier le signe de $(x - 1)(x + 2)$ , les facteurs s’annulent en $x = -2$ et $x = 1$ :

$x$		$-2$		$1$
$x - 1$	$-$		$-$	$0$	$+$
$x + 2$	$-$	$0$	$+$		$+$
$(x-1)(x+2)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Le produit est positif ou nul sur $]-\infty\,;\,-2]$ et sur $[1\,;\,+\infty[$ . Ainsi $(x - 1)(x + 2) \ge 0$ a pour solutions $S = \,]-\infty\,;\,-2] \cup [1\,;\,+\infty[.$

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Résoudre (2x − 1)(x + 3) = 0

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation produit nul $(2x - 1)(x + 3) = 0$ .

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Résoudre 5x − 3 = 2x + 9

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $5x - 3 = 2x + 9$ .

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Mise en équation : combien d'objets imprimés pour 54 € ?

Un atelier d'impression facture une mise en route fixe de $12$ € à laquelle s'ajoute un coût de $3$ € par objet imprimé. Une commande a coûté $54$ € au total. On note $x$ le nombre d'objets imprimés. Mettre le problème en équation, puis déterminer le nombre d'objets de la commande.

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Résoudre l'inéquation 4 − 3x ≥ 13

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $4 - 3x \ge 13$ et donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

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Résoudre une équation quotient : (3x − 6) divisé par (x + 1) égale 0

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation quotient $\dfrac{3x - 6}{x + 1} = 0$ , en précisant la valeur interdite.

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Résoudre x au carré = 5x par factorisation

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^{2} = 5x.$

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Bonus

Résoudre (x − 1)(x + 2) ≥ 0 par un tableau de signes (bonus)

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(x - 1)(x + 2) \ge 0$ à l'aide d'un tableau de signes.

Débloquer l'exercice

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Résoudre (x − 2) divisé par (x + 1) ≤ 0 par un tableau de signes

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\dfrac{x - 2}{x + 1} \le 0$ à l'aide d'un tableau de signes, en précisant la valeur interdite.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Comment résoudre une équation du premier degré ax + b = 0 ?

Si a ≠ 0, l'équation ax + b = 0 a une unique solution x égale moins b divisé par a. On isole x en faisant passer b de l'autre côté (ax = −b) puis en divisant par a. Par exemple 3x − 12 = 0 donne 3x = 12 puis x = 4.

Pourquoi faut-il une valeur interdite dans une équation quotient ?

Un quotient A sur B n'existe que si son dénominateur B est non nul : la valeur de x qui annule B est interdite. On a A sur B égale 0 si et seulement si A = 0 ET B ≠ 0. Il faut toujours commencer par chercher la ou les valeurs interdites, puis vérifier que les solutions trouvées ne sont pas interdites.

Quand inverse-t-on le sens d'une inéquation ?

On inverse le sens de l'inégalité (≤ devient ≥, et < devient >) uniquement lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre strictement négatif. Multiplier ou diviser par un nombre positif, ou ajouter et soustraire, ne change jamais le sens.

L’équation du premier degré

L’équation produit nul

L’équation quotient

Les inéquations du premier degré

Le tableau de signes

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