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Rêves Vision
Seconde

Atteindre un objectif d'épargne (problème)

Énoncé

Pour s'offrir un casque audio à 142142 €, Léa a déjà 2525 € dans sa tirelire et y ajoute 1313 € chaque semaine. On note S(n)S(n) la somme (en euros) dont elle dispose après nn semaines. Exprimer S(n)S(n), puis déterminer au bout de combien de semaines elle pourra acheter le casque.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Une fonction affine s'écrit S(n)=an+bS(n) = an + b : ici, que représente le montant de départ et que représente l'ajout hebdomadaire ?
  2. « Pouvoir acheter le casque » se traduit par une inéquation : sa somme doit être supérieure ou égale au prix, donc S(n)≥142.S(n) \geq 142.
  3. Isole le terme en nn : retranche 2525 des deux côtés, puis divise par 1313 (un nombre positif, le sens de l'inégalité ne change pas).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Modéliser la situation par une fonction affine

    Au départ Léa a 2525 €, et elle ajoute 1313 € par semaine. Après nn semaines, sa somme est S(n)=13n+25.S(n) = 13n + 25. C'est une fonction affine de coefficient directeur 1313 et d'ordonnée à l'origine 2525.

  2. 2. Traduire l'objectif par une inéquation

    Léa peut acheter le casque lorsque sa somme atteint au moins 142142 €, c'est-à-dire quand S(n)≥142S(n) \geq 142, soit 13n+25≥142.13n + 25 \geq 142.

  3. 3. Résoudre l'inéquation

    13n+25≥142  ⟺  13n≥142−25  ⟺  13n≥117  ⟺  n≥11713  ⟺  n≥9.13n + 25 \geq 142 \iff 13n \geq 142 - 25 \iff 13n \geq 117 \iff n \geq \dfrac{117}{13} \iff n \geq 9.

  4. 4. Vérifier et interpréter

    Pour n=9n = 9 : S(9)=13×9+25=117+25=142.S(9) = 13 \times 9 + 25 = 117 + 25 = 142. Léa atteint exactement 142142 €. Comme nn est un nombre de semaines, la plus petite valeur convenable est n=9.n = 9.

  5. 5. Conclure

    Léa pourra s'offrir le casque au bout de 99 semaines.
Réponse finale
S(n)=13n+25n=9 semainesS(n) = 13n + 25 \qquad n = 9 \text{ semaines}
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