Comparer des inverses de signes différents

Les nombres $8$ et $3$ sont tous les deux dans $]0\,;\,+\infty[$. Sur cet intervalle, la fonction inverse est décroissante, donc elle inverse l'ordre. Comme $3 < 8$, on a $\dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{8}$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{3}.$

Les nombres $-2$ et $-9$ sont tous les deux dans $]-\infty\,;\,0[$. Sur cet intervalle aussi, la fonction inverse est décroissante, donc elle inverse l'ordre. Comme $-9 < -2$, on obtient $\dfrac{1}{-9} > \dfrac{1}{-2}$, soit $\dfrac{1}{-2} < \dfrac{1}{-9}.$

Ici on ne peut pas appliquer le sens de variation, car $-4$ et $6$ ne sont pas sur le même intervalle de monotonie (la fonction inverse n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}$ tout entier). On raisonne par le signe : $\dfrac{1}{-4}$ est négatif et $\dfrac{1}{6}$ est positif. Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif, donc $\dfrac{1}{-4} < \dfrac{1}{6}.$ Donc $\dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{-2} < \dfrac{1}{-9}$ et $\dfrac{1}{-4} < \dfrac{1}{6}$.