Aller au contenu
Rêves Vision
Seconde

Minimiser un ecart au carre

Énoncé

Un revendeur de sneakers vise un prix cible. Pour chaque paire, on note ee l'écart (en euros) entre le prix affiché et le prix cible : ee est négatif si la paire est sous le prix cible, positif si elle est au-dessus. La « pénalité » d'une paire est P(e)=e2P(e) = e^2. Trois paires ont les écarts e1=−7e_1 = -7, e2=4e_2 = 4 et e3=−5e_3 = -5. a) Sans calculatrice, déterminer laquelle des trois paires a la plus petite pénalité, en justifiant par les variations de la fonction carré. b) Quel écart ee rendrait la pénalité minimale, et que vaudrait alors cette pénalité ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La pénalité P(e)=e2P(e) = e^2 est l'image de l'écart par la fonction carré : ne calcule pas les carrés tout de suite, pense plutôt à ses variations.
  2. Sur la parabole, e2e^2 est d'autant plus grand que ee est loin de 00. Compare donc les distances à zéro : 77, 44 et 55.
  3. Pour la question b), rappelle-toi que la fonction carré a un minimum bien précis : où est-il situé, et combien vaut-il ?

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Modéliser le problème par la fonction carré

    La pénalité P(e)=e2P(e) = e^2 est l'image de l'écart par la fonction carré. Comparer les pénalités revient donc à comparer (−7)2(-7)^2, 424^2 et (−5)2(-5)^2 à l'aide du sens de variation de cette fonction, sans tout calculer.

  2. 2. a) Ramener les écarts à leur distance à zéro

    La fonction carré est décroissante sur ]−∞ ; 0]]-\infty\,;\,0] puis croissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[ : la pénalité e2e^2 est d'autant plus grande que ee est éloigné de zéro. On compare donc les distances à 00 : pour e1=−7e_1 = -7 la distance est 77, pour e2=4e_2 = 4 elle est 44, pour e3=−5e_3 = -5 elle est 5.5.

  3. 3. a) Ordonner les distances puis les pénalités

    Comme 4<5<74 < 5 < 7 et que la fonction carré conserve l'ordre des distances (elle est croissante sur les positifs), on a 42<52<724^2 < 5^2 < 7^2, c'est-à-dire 16<25<49.16 < 25 < 49. La plus petite pénalité est donc celle de la paire 2 (écart e2=4e_2 = 4), avec P(4)=16.P(4) = 16.

  4. 4. b) Trouver le minimum de la pénalité

    La fonction carré atteint son minimum en 00, où elle vaut 02=00^2 = 0, et toute autre valeur donne e2>0.e^2 > 0. La pénalité serait donc minimale pour un écart e=0e = 0 (prix exactement égal au prix cible), et vaudrait alors P(0)=0.P(0) = 0. Donc la paire 2 a la plus petite pénalité (1616), et la pénalité minimale possible est 00, atteinte pour e=0e = 0.
Réponse finale
a) paire 2 (e=4), P=16;b) e=0 donne P=0\text{a) paire 2 } (e = 4),\ P = 16 \quad ; \quad \text{b) } e = 0 \text{ donne } P = 0
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Les fonctions de référence ← Retour au cours

À suivre