Étudier la parité d'une fonction (bonus)

Les deux fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$, qui est symétrique par rapport à $0$ (si $x$ est dans le domaine, $-x$ aussi). L'étude de la parité a donc un sens : on peut calculer $f(-x)$ et $g(-x)$ pour tout $x.$

On remplace $x$ par $-x$ dans $f$ : $f(-x) = (-x)^2 - 3 = x^2 - 3.$ On reconnaît $f(x).$ Comme $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$, la fonction $f$ est paire.

$f$ étant paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. (C'est cohérent : $f$ est la fonction carré abaissée de $3$, qui est elle-même paire.)

On remplace $x$ par $-x$ dans $g$ : $g(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x.$ On factorise par $-1$ : $-x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x).$ Comme $g(-x) = -g(x)$ pour tout $x$, la fonction $g$ est impaire.

$g$ étant impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$. On peut le vérifier sur un nombre : $g(2) = 8 - 2 = 6$ et $g(-2) = -8 + 2 = -6 = -g(2)$, ce qui confirme le résultat.