Seconde
Variations et bénéfice maximal d'une revente de sneakers
Énoncé
Un revendeur de sneakers étudie son bénéfice journalier (en euros) en fonction du nombre de paires vendues dans la journée, avec . Sa courbe a la forme d'une colline : elle monte de à , puis descend de à . On connaît cinq points : , , , et . 1) Donner le sens de variation de sur chaque intervalle. 2) Dresser le tableau de variations de . 3) En déduire le bénéfice maximal et le nombre de paires correspondant. 4) Déterminer les antécédents de par , puis indiquer pour quelles valeurs de le revendeur réalise un bénéfice strictement positif.
Besoin d'un coup de pouce ?
- Une flèche traduit « la courbe monte » (fonction croissante), une flèche traduit « la courbe descend » (fonction décroissante). Place d'abord les abscisses , et sur la ligne du haut.
- Le maximum est la plus grande ordonnée atteinte : repère-la au sommet de la colline, là où la fonction arrête de croître pour se mettre à décroître.
- Pour les antécédents de , cherche les tels que parmi les points donnés. Pour , demande-toi entre quels seuils la courbe se trouve au-dessus de l'axe des abscisses.
Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.
Voir le corrigé détaillé
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1. Sens de variation
On traduit la forme de la courbe : elle monte puis descend. Donc est croissante sur , puis décroissante sur . -
2. Tableau de variations
On reporte les bornes sur la ligne du haut et les flèches sur la ligne du bas, en plaçant les valeurs connues aux extrémités et au sommet :
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3. Bénéfice maximal
Le maximum se lit au sommet de la colline, en haut des flèches. La plus grande valeur atteinte est , en Donc admet pour maximum sur , atteint en : le bénéfice est au plus de € par jour, obtenu pour paires vendues. Pour tout de l'intervalle, -
4. Antécédents de 0
Chercher les antécédents de , c'est repérer les valeurs de telles que D'après les points donnés, et : les antécédents de sont donc et Ce sont les seuils où le bénéfice est nul (l'activité ne rapporte ni ne perd d'argent). -
5. Bénéfice strictement positif
Le bénéfice est strictement positif quand la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, c'est-à-dire Comme croît de jusqu'à en s'annulant en , puis décroît de jusqu'à en s'annulant en , la courbe est au-dessus de exactement entre ces deux seuils. Le revendeur réalise donc un bénéfice strictement positif lorsque , soit de à paires vendues (nombres entiers de paires).
Réponse finale
Ta progression