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Rêves Vision
Seconde

Point relais au milieu d'un parcours

Énoncé

Sur la carte d'un trail, munie d'un repère orthonormé où une unité représente 11 km, le départ est au point A(−1 ; 2)A(-1\,;\,2) et l'arrivée au point B(5 ; 10)B(5\,;\,10). Les organisateurs installent un point d'eau RR au milieu du segment [AB][AB]. Déterminer les coordonnées de RR, puis calculer la distance ARAR, en kilomètres, séparant le départ du point d'eau.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer les coordonnées du milieu R

    Le milieu RR de [AB][AB] a pour coordonnées la moyenne de celles de AA et BB : R(xA+xB2 ; yA+yB2)=(−1+52 ; 2+102)=(42 ; 122)=(2 ; 6).R\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\dfrac{-1 + 5}{2}\,;\,\dfrac{2 + 10}{2}\right) = \left(\dfrac{4}{2}\,;\,\dfrac{12}{2}\right) = (2\,;\,6).

  2. 2. Rappeler la formule de distance

    La carte est munie d'un repère orthonormé, donc AR=(xR−xA)2+(yR−yA)2.AR = \sqrt{(x_R - x_A)^2 + (y_R - y_A)^2}.

  3. 3. Calculer les variations de coordonnées

    xR−xA=2−(−1)=3x_R - x_A = 2 - (-1) = 3 et yR−yA=6−2=4.y_R - y_A = 6 - 2 = 4.

  4. 4. Conclure

    AR=32+42=9+16=25=5.AR = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. Le point d'eau est en R(2 ; 6)R(2\,;\,6) et se trouve à 55 km du départ.
Réponse finale
R(2 ; 6) et AR=5 kmR(2\,;\,6) \text{ et } AR = 5 \text{ km}
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