Seconde · Chapitre 3

La géométrie repérée : milieu, distance et droites

Cours de Seconde sur la géométrie repérée : coordonnées du milieu, distance entre deux points en repère orthonormé, coefficient directeur et équation de droite. Avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Seconde générale et technologique · Mis à jour en juin 2026

La géométrie repérée traduit les figures en nombres : dès qu’on place un repère, chaque point possède des coordonnées, et les longueurs comme les alignements se calculent. Trois outils suffisent pour démarrer : le milieu d’un segment, la distance entre deux points et l’équation d’une droite.

Coordonnées d'un point

Dans un repère du plan, tout point $M$ est repéré par un couple de réels $(x_M\,;\,y_M)$ : son abscisse $x_M$ et son ordonnée $y_M$ .

Coordonnées du milieu

Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées la moyenne des coordonnées de $A$ et $B$ :

$I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$

Cette formule est valable dans tout repère, qu’il soit orthonormé ou non.

Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé, la distance entre $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ vaut :

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

C’est l’application directe du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle dont $[AB]$ est l’hypoténuse.

Équation réduite d'une droite

Toute droite non verticale admet une équation réduite de la forme $y = mx + p$ , où :

$m$ est le coefficient directeur (la pente),
$p$ est l’ordonnée à l’origine, ordonnée du point d’intersection avec l’axe des ordonnées.

Une droite verticale a, elle, une équation de la forme $x = k$ .

Coefficient directeur à partir de deux points

Lorsque $A$ et $B$ ont des abscisses distinctes ( $x_A \neq x_B$ ), le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :

$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

soit la variation des ordonnées divisée par la variation des abscisses.

Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points

Vérifier que $x_A \neq x_B$ , puis calculer le coefficient directeur $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ .
Écrire $y = mx + p$ et remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées d’un point connu pour trouver $p$ .
Conclure en écrivant l’équation réduite $y = mx + p$ , puis vérifier avec le second point.

Reconnaître la nature d'un triangle

On calcule les carrés des trois longueurs (pour éviter les racines) :

deux longueurs égales $\Rightarrow$ triangle isocèle ;
trois longueurs égales $\Rightarrow$ triangle équilatéral ;
si la somme de deux carrés égale le troisième $\Rightarrow$ triangle rectangle (réciproque de Pythagore).

Les pièges classiques

La formule de distance n’est valable qu’en repère orthonormé ; celle du milieu, dans tout repère.
Dans une différence au carré, $(x_B - x_A)^2 = (x_A - x_B)^2$ : l’ordre n’a pas d’importance, le résultat reste positif.
Pour le coefficient directeur, ne pas inverser : c’est bien $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ (ordonnées sur abscisses), et non l’inverse.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer les coordonnées d'un milieu

Dans un repère, on donne les points $A(-3\,;\,2)$ et $B(5\,;\,8)$ . Déterminer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$ .

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Calculer une distance entre deux points

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Calculer la distance $AB$ entre les points $A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,6)$ .

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Déterminer l'équation d'une droite par deux points

Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$ passant par les points $A(-1\,;\,1)$ et $B(2\,;\,7)$ .

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Déterminer la nature d'un triangle

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1\,;\,1)$ , $B(4\,;\,2)$ et $C(2\,;\,4)$ . Déterminer la nature du triangle $ABC$ .

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Distance d'une livraison par drone

Une plateforme de livraison repère la ville sur une carte munie d'un repère orthonormé où une unité représente $100$ m. L'entrepôt est au point $E(-4\,;\,3)$ et le client au point $C(8\,;\,-2)$ . Le drone vole en ligne droite de $E$ à $C$ . Calculer la distance $EC$ en unités, puis convertir cette distance en mètres.

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Point relais au milieu d'un parcours

Sur la carte d'un trail, munie d'un repère orthonormé où une unité représente $1$ km, le départ est au point $A(-1\,;\,2)$ et l'arrivée au point $B(5\,;\,10)$ . Les organisateurs installent un point d'eau $R$ au milieu du segment $[AB]$ . Déterminer les coordonnées de $R$ , puis calculer la distance $AR$ , en kilomètres, séparant le départ du point d'eau.

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Module de skatepark rectangle

Un skatepark est dessiné sur un plan muni d'un repère orthonormé où une unité représente $1$ m. Une rampe triangulaire relie les points $A(-2\,;\,1)$ , $B(4\,;\,3)$ et $C(2\,;\,9)$ . Pour fixer un poteau de soutien vertical à l'angle, le constructeur a besoin de savoir si le triangle $ABC$ possède un angle droit. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle et préciser en quel sommet.

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Bonus

Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Dans un repère, on donne les points $A(-2\,;\,1)$ , $B(3\,;\,2)$ , $C(4\,;\,5)$ et $D(-1\,;\,4)$ . Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Comment calculer les coordonnées du milieu d'un segment ?

Le milieu I de [AB] a pour coordonnées la moyenne des coordonnées de A et B : son abscisse est (xA + xB) divisé par 2 et son ordonnée (yA + yB) divisé par 2.

Comment calculer la distance entre deux points dans un repère ?

Dans un repère orthonormé, la distance AB se calcule avec AB égale la racine carrée de (xB − xA) au carré plus (yB − yA) au carré. C'est une application directe du théorème de Pythagore.

Comment trouver le coefficient directeur d'une droite passant par deux points ?

Le coefficient directeur d'une droite (AB) non verticale vaut m égale (yB − yA) divisé par (xB − xA), c'est-à-dire la variation des ordonnées divisée par la variation des abscisses.