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Seconde Approfondissement gratuit

Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Énoncé

Dans un repère, on donne les points A(−2 ; 1)A(-2\,;\,1), B(3 ; 2)B(3\,;\,2), C(4 ; 5)C(4\,;\,5) et D(−1 ; 4)D(-1\,;\,4). Démontrer que le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Choisir un critère

    Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu. Les diagonales de ABCDABCD sont [AC][AC] et [BD][BD] : on va montrer qu'elles ont le même milieu.

  2. 2. Calculer le milieu de la diagonale [AC]

    Notons II le milieu de [AC][AC] : I(xA+xC2 ; yA+yC2)=(−2+42 ; 1+52)=(1 ; 3).I\left(\dfrac{x_A + x_C}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\dfrac{-2 + 4}{2}\,;\,\dfrac{1 + 5}{2}\right) = (1\,;\,3).

  3. 3. Calculer le milieu de la diagonale [BD]

    Notons JJ le milieu de [BD][BD] : J(xB+xD2 ; yB+yD2)=(3+(−1)2 ; 2+42)=(1 ; 3).J\left(\dfrac{x_B + x_D}{2}\,;\,\dfrac{y_B + y_D}{2}\right) = \left(\dfrac{3 + (-1)}{2}\,;\,\dfrac{2 + 4}{2}\right) = (1\,;\,3).

  4. 4. Conclure

    Les milieux II et JJ ont les mêmes coordonnées (1 ; 3)(1\,;\,3) : les diagonales [AC][AC] et [BD][BD] ont donc le même milieu. Par conséquent, le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.
Réponse finale
Les diagonales [AC] et [BD] ont le meˆme milieu (1 ; 3):ABCD est un paralleˊlogramme.\text{Les diagonales } [AC] \text{ et } [BD] \text{ ont le même milieu } (1\,;\,3) : ABCD \text{ est un parallélogramme.}
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