Déterminer la nature d'un triangle

On calcule les carrés des distances pour éviter les racines. $AB^2 = (4-1)^2 + (2-1)^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10.$

$AC^2 = (2-1)^2 + (4-1)^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$, puis $BC^2 = (2-4)^2 + (4-2)^2 = (-2)^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8.$

On a $AB^2 = AC^2 = 10$, donc $AB = AC = \sqrt{10}$ : le triangle est isocèle en $A$. On vérifie qu'il n'est pas rectangle : aucune somme de deux carrés n'est égale au troisième (par exemple $AB^2 + BC^2 = 18 \neq AC^2$). Le triangle $ABC$ est donc isocèle en $A$ et non rectangle.