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Rêves Vision
Seconde

Module de skatepark rectangle

Énoncé

Un skatepark est dessiné sur un plan muni d'un repère orthonormé où une unité représente 11 m. Une rampe triangulaire relie les points A(−2 ; 1)A(-2\,;\,1), B(4 ; 3)B(4\,;\,3) et C(2 ; 9)C(2\,;\,9). Pour fixer un poteau de soutien vertical à l'angle, le constructeur a besoin de savoir si le triangle ABCABC possède un angle droit. Démontrer que le triangle ABCABC est rectangle et préciser en quel sommet.
A B C
Rampe triangulaire ABC, rectangle en B (schéma, non à l'échelle).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Calcule d'abord les trois carrés de longueurs AB2AB^2, BC2BC^2 et AC2AC^2 avec la formule (xB−xA)2+(yB−yA)2(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 : tu évites ainsi de manipuler des racines carrées.
  2. Repère le plus grand des trois carrés : le côté correspondant est le seul qui peut être l'hypoténuse, donc le candidat à l'angle droit est le sommet opposé à ce côté.
  3. Vérifie si la somme des deux plus petits carrés est égale au plus grand. Si oui, la réciproque de Pythagore garantit l'angle droit ; l'angle droit est au sommet opposé à l'hypoténuse.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Choisir la méthode

    Pour prouver un angle droit, on calcule les carrés des trois longueurs (cela évite les racines), puis on applique la réciproque du théorème de Pythagore : si la somme des carrés des deux plus petits côtés est égale au carré du plus grand, le triangle est rectangle.

  2. 2. Calculer AB au carré

    AB2=(xB−xA)2+(yB−yA)2=(4−(−2))2+(3−1)2=62+22=36+4=40.AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = (4 - (-2))^2 + (3 - 1)^2 = 6^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40.

  3. 3. Calculer BC au carré

    BC2=(xC−xB)2+(yC−yB)2=(2−4)2+(9−3)2=(−2)2+62=4+36=40.BC^2 = (x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 = (2 - 4)^2 + (9 - 3)^2 = (-2)^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40.

  4. 4. Calculer AC au carré

    AC2=(xC−xA)2+(yC−yA)2=(2−(−2))2+(9−1)2=42+82=16+64=80.AC^2 = (x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 = (2 - (-2))^2 + (9 - 1)^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80.

  5. 5. Identifier le plus grand côté

    Le plus grand des trois carrés est AC2=80AC^2 = 80, donc [AC][AC] est le côté le plus long : c'est le candidat hypoténuse. Les deux autres côtés sont [AB][AB] et [BC][BC].

  6. 6. Appliquer la réciproque de Pythagore et conclure

    On compare : AB2+BC2=40+40=80AB^2 + BC^2 = 40 + 40 = 80 et AC2=80AC^2 = 80, donc AB2+BC2=AC2.AB^2 + BC^2 = AC^2. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABCABC est rectangle, et l'angle droit est opposé à l'hypoténuse [AC][AC], c'est-à-dire au sommet BB. On remarque de plus que AB2=BC2AB^2 = BC^2, donc AB=BCAB = BC : le triangle est aussi isocèle. Le triangle ABCABC est rectangle (et isocèle) en BB : le poteau de soutien se place au sommet BB.
Réponse finale
AB2+BC2=40+40=80=AC2, donc ABC est rectangle en BAB^2 + BC^2 = 40 + 40 = 80 = AC^2 \text{, donc } ABC \text{ est rectangle en } B
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