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Rêves Vision
Seconde

Compléter et exploiter un arbre pondéré

Énoncé

Une usine fabrique des pièces avec deux machines, AA et BB. Une pièce provient de la machine AA avec une probabilité de 0,6.0{,}6. Une pièce issue de AA est défectueuse avec une probabilité de 0,050{,}05 ; une pièce issue de BB est défectueuse avec une probabilité de 0,02.0{,}02. On représente la situation par l'arbre pondéré ci-dessous, où certaines probabilités manquent.

- Machine AA (0,6)(0{,}6) → Défectueuse (0,05)(0{,}05) ou Correcte ( ? )(\,?\,)
- Machine BB ( ? )(\,?\,) → Défectueuse (0,02)(0{,}02) ou Correcte ( ? )(\,?\,)

Compléter les trois probabilités manquantes en justifiant.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Probabilité de la machine B

    Les branches « Machine AA » et « Machine BB » partent du même nœud de départ : leur somme vaut 1.1. Donc P(B)=1−0,6=0,4.P(B) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4.

  2. 2. Probabilité qu'une pièce de A soit correcte

    Les branches « Défectueuse » et « Correcte » issues de AA ont pour somme 1.1. Donc, sachant AA, la probabilité d'être correcte est 1−0,05=0,95.1 - 0{,}05 = 0{,}95.

  3. 3. Probabilité qu'une pièce de B soit correcte

    De même, à partir de BB : la probabilité d'être correcte est 1−0,02=0,98.1 - 0{,}02 = 0{,}98. L'arbre complété porte donc les poids 0,40{,}4 (machine BB), 0,950{,}95 et 0,980{,}98 (pièces correctes).
Réponse finale
P(B)=0,4;0,95 (correcte sachant A);0,98 (correcte sachant B)P(B) = 0{,}4 \quad ; \quad 0{,}95 \text{ (correcte sachant } A) \quad ; \quad 0{,}98 \text{ (correcte sachant } B)
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