Seconde · Chapitre 16

Probabilités conditionnelles : tableaux croisés et arbres pondérés

Cours de Seconde sur les probabilités conditionnelles : tableau croisé, fréquences marginales et conditionnelles, probabilité sachant un événement et arbre pondéré. Avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Seconde générale et technologique · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Les probabilités

Souvent, une information change la probabilité d’un événement : la probabilité qu’un élève soit interne n’est pas la même selon qu’on regarde toute la classe ou seulement les filles. C’est l’idée des probabilités conditionnelles, que l’on aborde ici très concrètement à partir de tableaux croisés d’effectifs et d’arbres pondérés.

Tableau croisé d'effectifs

Un tableau croisé range les individus selon deux caractères à la fois. Les totaux de chaque ligne et de chaque colonne sont les effectifs marginaux ; la case en bas à droite est l’effectif total.

Exemple : une classe de $30$ élèves répartis selon le sexe et le régime (interne / externe).

	Interne	Externe	Total
Fille	$8$	$7$	$15$
Garçon	$4$	$11$	$15$
Total	$12$	$18$	$30$

Les effectifs marginaux sont $15$ , $15$ (lignes) et $12$ , $18$ (colonnes) ; l’effectif total est $30$ . On vérifie toujours que les totaux « tombent juste » : $8+7=15$ , $12+18=30$ , etc.

Fréquence marginale

La fréquence marginale d’une catégorie est sa proportion dans l’effectif total. On divise l’effectif marginal par l’effectif total.

Dans l’exemple : la fréquence des internes est $\frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0{,}4,$ soit $40\,\%$ de la classe. De même, la fréquence des filles est $\dfrac{15}{30} = 0{,}5$ .

Fréquence conditionnelle (proportion « parmi »)

La fréquence conditionnelle est la proportion d’une catégorie parmi une autre. On ne divise plus par l’effectif total, mais par l’effectif de la sous-population considérée.

« Parmi les filles, la proportion d’internes » : $\frac{\text{filles internes}}{\text{total des filles}} = \frac{8}{15} \approx 0{,}53.$

« Parmi les internes, la proportion de filles » : $\frac{\text{filles internes}}{\text{total des internes}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67.$

Ces deux fréquences sont différentes : l’ordre du « parmi » compte. Le dénominateur est toujours le total de la catégorie qui suit le mot « parmi ».

Probabilité conditionnelle : la probabilité de B sachant A

Quand on choisit un individu au hasard, la fréquence conditionnelle devient une probabilité conditionnelle.

La probabilité de $B$ sachant $A$ , notée $P_A(B)$ , est la proportion de $B$ parmi les cas où $A$ est réalisé. Concrètement, on se restreint à la ligne (ou la colonne) de $A$ , puis : $P_A(B) = \frac{\text{effectif des individus qui réalisent } A \text{ et } B}{\text{effectif total des individus qui réalisent } A}.$

Exemple : on choisit un élève au hasard. La probabilité qu’il soit une fille sachant qu’il est interne est $P_{\text{interne}}(\text{fille}) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.$ On s’est restreint à la colonne « Interne » ( $12$ élèves), dont $8$ sont des filles.

Calculer une probabilité conditionnelle sur un tableau

Repérer la condition (le « sachant » ou le « parmi ») : c’est elle qui fixe la sous-population.
Aller lire le total de cette ligne ou de cette colonne : ce sera le dénominateur.
Lire dans la case l’effectif qui réalise en plus l’événement cherché : ce sera le numérateur.
Faire le quotient, puis simplifier (ou donner une valeur décimale).

Arbre pondéré

Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes. Sur chaque branche, on écrit la probabilité de l’événement correspondant ; à la deuxième étape, ce sont des probabilités conditionnelles (elles dépendent de la branche déjà suivie).

Exemple à deux niveaux. Le matin, il pleut avec une probabilité de $0{,}4$ . S’il pleut, le bus est en retard avec une probabilité de $0{,}3$ ; s’il fait soleil, il est en retard avec une probabilité de $0{,}1$ .

Pluie $(0{,}4)$ → Retard $(0{,}3)$ ou Pas de retard $(0{,}7)$
Soleil $(0{,}6)$ → Retard $(0{,}1)$ ou Pas de retard $(0{,}9)$

Règles de l'arbre pondéré

Somme des branches d’un nœud : les probabilités des branches issues d’un même nœud ont pour somme $1$ . Ici $0{,}4 + 0{,}6 = 1$ et $0{,}3 + 0{,}7 = 1$ .
Probabilité d’un chemin : on multiplie les probabilités le long des branches d’un chemin.

$P(\text{Pluie puis Retard}) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12.$

Probabilité totale (somme de plusieurs chemins)

Quand un événement peut être atteint par plusieurs chemins distincts de l’arbre, on calcule chaque chemin par un produit, puis on additionne les résultats.

Probabilité que le bus soit en retard (deux chemins mènent à « Retard ») : $P(\text{Retard}) = \underbrace{0{,}4 \times 0{,}3}_{\text{par la pluie}} + \underbrace{0{,}6 \times 0{,}1}_{\text{par le soleil}} = 0{,}12 + 0{,}06 = 0{,}18.$

Les pièges classiques

Une fréquence conditionnelle se divise par le total de la sous-population (« parmi… »), jamais par l’effectif total.
$P_A(B)$ et $P_B(A)$ n’ont en général pas la même valeur : ici $P_{\text{interne}}(\text{fille}) = \dfrac{8}{12}$ mais $P_{\text{fille}}(\text{interne}) = \dfrac{8}{15}$ .
Sur un arbre : on multiplie le long d’un chemin, et on additionne des chemins différents. Ne pas confondre les deux.
Toute probabilité reste comprise entre $0$ et $1$ : un résultat hors de cet intervalle signale une erreur.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer une fréquence conditionnelle (proportion « parmi »)

Dans un lycée, $120$ élèves de Seconde sont répartis selon leur deuxième langue (anglais ou espagnol) et leur régime (demi-pensionnaire ou externe).

| | Demi-pension | Externe | Total |
|---|---|---|---|
| Anglais | $45$ | $35$ | $80$ |
| Espagnol | $15$ | $25$ | $40$ |
| Total | $60$ | $60$ | $120$ |

1) Parmi les demi-pensionnaires, quelle est la proportion d'élèves qui font espagnol ? 2) On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il fasse espagnol sachant qu'il est demi-pensionnaire ?

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Lire un tableau croisé et calculer des fréquences marginales

Un sondage est réalisé auprès de $200$ personnes sur leur sport préféré (vélo ou course à pied), selon leur âge (jeunes ou adultes). Les résultats sont partiellement donnés ci-dessous.

| | Jeunes | Adultes | Total |
|---|---|---|---|
| Vélo | $50$ | $70$ | ? |
| Course | $30$ | $50$ | ? |
| Total | ? | ? | $200$ |

1) Compléter les effectifs marginaux (les totaux) du tableau. 2) Calculer la fréquence marginale des personnes qui préfèrent le vélo. 3) Calculer la fréquence marginale des jeunes.

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Compléter et exploiter un arbre pondéré

Une usine fabrique des pièces avec deux machines, $A$ et $B$ . Une pièce provient de la machine $A$ avec une probabilité de $0{,}6.$ Une pièce issue de $A$ est défectueuse avec une probabilité de $0{,}05$ ; une pièce issue de $B$ est défectueuse avec une probabilité de $0{,}02.$ On représente la situation par l'arbre pondéré ci-dessous, où certaines probabilités manquent.

- Machine $A$ $(0{,}6)$ → Défectueuse $(0{,}05)$ ou Correcte $(\,?\,)$
- Machine $B$ $(\,?\,)$ → Défectueuse $(0{,}02)$ ou Correcte $(\,?\,)$

Compléter les trois probabilités manquantes en justifiant.

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Probabilité d'un chemin dans un arbre (produit)

Le matin, un élève se rend au lycée à vélo avec une probabilité de $0{,}75.$ Lorsqu'il prend son vélo, il arrive à l'heure avec une probabilité de $0{,}8.$ La situation est représentée par l'arbre :

- Vélo $(0{,}75)$ → À l'heure $(0{,}8)$ ou En retard $(0{,}2)$
- Autre moyen $(0{,}25)$ → ...

Calculer la probabilité que l'élève vienne à vélo et arrive à l'heure.

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Probabilité sachant un événement sur un tableau croisé

Un serveur Roblox compte $150$ joueurs. On les classe selon leur appareil (mobile ou PC) et selon qu'ils ont acheté ou non le Game Pass.

| | Mobile | PC | Total |
|---|---|---|---|
| A acheté | $36$ | $33$ | $69$ |
| N'a pas acheté | $54$ | $27$ | $81$ |
| Total | $90$ | $60$ | $150$ |

On choisit un joueur au hasard. 1) Calculer la probabilité qu'il ait acheté le Game Pass sachant qu'il joue sur mobile. 2) Calculer la probabilité qu'il joue sur mobile sachant qu'il a acheté le Game Pass. 3) Comparer ces deux probabilités.

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Arbre pondéré : probabilité totale puis condition inverse

Un créateur publie des vidéos sur sa chaîne : $60\,\%$ sont des formats courts et le reste des formats longs. Une vidéo courte devient virale avec une probabilité de $0{,}15$ ; une vidéo longue devient virale avec une probabilité de $0{,}30.$ On choisit au hasard une vidéo de la chaîne. 1) Calculer la probabilité qu'elle devienne virale. 2) Sachant qu'une vidéo est devenue virale, calculer la probabilité que ce soit un format long.

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Bonus

Probabilité totale : somme de deux chemins

Sur un site de vente en ligne, un visiteur se connecte depuis un mobile avec une probabilité de $0{,}7$ , et depuis un ordinateur sinon. Depuis un mobile, il effectue un achat avec une probabilité de $0{,}05.$ Depuis un ordinateur, il effectue un achat avec une probabilité de $0{,}12.$ On choisit un visiteur au hasard. Quelle est la probabilité qu'il effectue un achat ?

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Probabilité totale avec trois fournisseurs

Un fast-food commande ses pains à trois boulangeries. La boulangerie $A$ fournit $50\,\%$ des pains, la boulangerie $B$ en fournit $30\,\%$ et la boulangerie $C$ le reste. Un pain de $A$ est mal cuit avec une probabilité de $0{,}02$ ; un pain de $B$ est mal cuit avec une probabilité de $0{,}05$ ; un pain de $C$ est mal cuit avec une probabilité de $0{,}04.$ On prend un pain au hasard dans le stock. Quelle est la probabilité qu'il soit mal cuit ?

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une fréquence conditionnelle ?

C'est la proportion d'une catégorie PARMI une autre. Par exemple « parmi les filles, la proportion d'internes » : on divise l'effectif des filles internes par l'effectif total des filles, et non par l'effectif de la classe entière.

Comment lire la probabilité de B sachant A sur un tableau ?

La probabilité de B sachant A, notée P_A(B), est la proportion de B parmi les cas où A est réalisé. On se restreint à la ligne (ou la colonne) de A, puis on divise l'effectif qui réalise aussi B par le total de cette ligne (ou colonne).

Comment calculer la probabilité d'un chemin dans un arbre pondéré ?

On multiplie les probabilités rencontrées le long des branches du chemin. De plus, la somme des probabilités des branches qui partent d'un même nœud vaut toujours 1.