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Rêves Vision
Seconde

Probabilité sachant un événement sur un tableau croisé

Énoncé

Un serveur Roblox compte 150150 joueurs. On les classe selon leur appareil (mobile ou PC) et selon qu'ils ont acheté ou non le Game Pass.

| | Mobile | PC | Total |
|---|---|---|---|
| A acheté | 3636 | 3333 | 6969 |
| N'a pas acheté | 5454 | 2727 | 8181 |
| Total | 9090 | 6060 | 150150 |

On choisit un joueur au hasard. 1) Calculer la probabilité qu'il ait acheté le Game Pass sachant qu'il joue sur mobile. 2) Calculer la probabilité qu'il joue sur mobile sachant qu'il a acheté le Game Pass. 3) Comparer ces deux probabilités.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Première condition : se restreindre aux joueurs sur mobile

    La condition « sachant qu'il joue sur mobile » fixe la sous-population : on ne regarde que la colonne « Mobile », qui compte 9090 joueurs au total. Parmi eux, 3636 ont acheté le Game Pass. D'après la définition de la probabilité conditionnelle, Pmobile(achat)=3690.P_{\text{mobile}}(\text{achat}) = \dfrac{36}{90}.

  2. 2. Simplifier la première probabilité

    On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 1818 : 3690=25=0,4.\dfrac{36}{90} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4. Donc Pmobile(achat)=0,4P_{\text{mobile}}(\text{achat}) = 0{,}4, soit 40 %40\,\% des joueurs sur mobile.

  3. 3. Deuxième condition : se restreindre aux acheteurs

    Cette fois, la condition « sachant qu'il a acheté » fixe la sous-population : on ne regarde que la ligne « A acheté », qui compte 6969 joueurs au total. Parmi eux, 3636 jouent sur mobile. Donc Pachat(mobile)=3669=1223≈0,52.P_{\text{achat}}(\text{mobile}) = \dfrac{36}{69} = \dfrac{12}{23} \approx 0{,}52.

  4. 4. Comparer les deux résultats

    On compare Pmobile(achat)=0,4P_{\text{mobile}}(\text{achat}) = 0{,}4 et Pachat(mobile)≈0,52.P_{\text{achat}}(\text{mobile}) \approx 0{,}52. Ces deux probabilités sont différentes car le « sachant » ne porte pas sur la même sous-population : le dénominateur passe de 9090 (les joueurs mobile) à 6969 (les acheteurs). L'ordre du conditionnement compte : Pmobile(achat)=0,4P_{\text{mobile}}(\text{achat}) = 0{,}4 alors que Pachat(mobile)≈0,52P_{\text{achat}}(\text{mobile}) \approx 0{,}52, ces deux valeurs ne sont pas égales.
Réponse finale
Pmobile(achat)=25=0,4;Pachat(mobile)=1223≈0,52P_{\text{mobile}}(\text{achat}) = \dfrac{2}{5} = 0{,}4 \quad ; \quad P_{\text{achat}}(\text{mobile}) = \dfrac{12}{23} \approx 0{,}52
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