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Rêves Vision
Seconde

Probabilité totale avec trois fournisseurs

Énoncé

Un fast-food commande ses pains à trois boulangeries. La boulangerie AA fournit 50 %50\,\% des pains, la boulangerie BB en fournit 30 %30\,\% et la boulangerie CC le reste. Un pain de AA est mal cuit avec une probabilité de 0,020{,}02 ; un pain de BB est mal cuit avec une probabilité de 0,050{,}05 ; un pain de CC est mal cuit avec une probabilité de 0,04.0{,}04. On prend un pain au hasard dans le stock. Quelle est la probabilité qu'il soit mal cuit ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La part de la boulangerie CC se trouve grâce à la règle « la somme des branches d'un même nœud vaut 11 » : 1−0,5−0,3.1 - 0{,}5 - 0{,}3.
  2. Un pain mal cuit peut venir de AA, de BB ou de CC : il y a donc trois chemins à calculer séparément, chacun par un produit.
  3. Une fois les trois produits obtenus, additionne-les pour avoir la probabilité totale d'un pain mal cuit.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Déterminer la part de la boulangerie C

    Les trois boulangeries fournissent la totalité des pains : la somme des branches du premier niveau vaut 1.1. Donc la part de CC est 1−0,5−0,3=0,21 - 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2, soit 20 %20\,\% des pains.

  2. 2. Construire l'arbre pondéré

    Premier niveau, l'origine du pain : AA (0,5)(0{,}5), BB (0,3)(0{,}3) et CC (0,2).(0{,}2). Deuxième niveau, sachant la boulangerie : depuis AA, Mal cuit (0,02)(0{,}02) ; depuis BB, Mal cuit (0,05)(0{,}05) ; depuis CC, Mal cuit (0,04).(0{,}04).

  3. 3. Repérer les chemins menant à un pain mal cuit

    L'événement « Mal cuit » est atteint par trois chemins distincts, un par boulangerie. D'après la règle de l'arbre, on calcule chaque chemin par un produit, puis on additionne les trois résultats.

  4. 4. Calculer chaque chemin

    Chemin par AA : 0,5×0,02=0,01.0{,}5 \times 0{,}02 = 0{,}01. Chemin par BB : 0,3×0,05=0,015.0{,}3 \times 0{,}05 = 0{,}015. Chemin par CC : 0,2×0,04=0,008.0{,}2 \times 0{,}04 = 0{,}008.

  5. 5. Additionner les trois chemins

    Le pain mal cuit pouvant venir de l'une ou l'autre boulangerie, on additionne les trois chemins : P(Mal cuit)=0,01+0,015+0,008=0,033.P(\text{Mal cuit}) = 0{,}01 + 0{,}015 + 0{,}008 = 0{,}033. La probabilité qu'un pain pris au hasard soit mal cuit est 0,0330{,}033, soit 3,3 %3{,}3\,\% des pains.
Réponse finale
P(Mal cuit)=0,5×0,02+0,3×0,05+0,2×0,04=0,033P(\text{Mal cuit}) = 0{,}5 \times 0{,}02 + 0{,}3 \times 0{,}05 + 0{,}2 \times 0{,}04 = 0{,}033
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