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Rêves Vision
Seconde

Accessoires dans une boutique tech

Énoncé

Une boutique en ligne d'accessoires tech a enregistré 200200 commandes le mois dernier. Parmi elles, 130130 commandes contiennent une coque de téléphone, 8080 contiennent une protection d'écran, et 5050 contiennent à la fois une coque et une protection d'écran. On choisit une commande au hasard, chacune ayant la même chance d'être choisie. On note AA l'événement « la commande contient une coque » et BB l'événement « la commande contient une protection d'écran ». Calculer la probabilité que la commande contienne au moins un de ces deux accessoires, puis la probabilité qu'elle ne contienne aucun des deux.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. « Au moins un des deux » se traduit par la réunion A∪BA \cup B. Commence par calculer séparément P(A)P(A), P(B)P(B) et P(A∩B)P(A \cap B) en divisant chaque effectif par 200200.
  2. Pour la réunion, applique P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) : on retranche P(A∩B)P(A \cap B) pour ne pas compter deux fois les commandes qui ont les deux accessoires.
  3. « Aucun des deux » est l'événement contraire de « au moins un » : utilise P(A∪B‾)=1−P(A∪B)P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Probabilités de chaque événement

    La commande est choisie parmi 200200 commandes équiprobables. Comme 130130 commandes contiennent une coque, P(A)=130200P(A) = \dfrac{130}{200}, et comme 8080 commandes contiennent une protection d'écran, P(B)=80200.P(B) = \dfrac{80}{200}.

  2. 2. Probabilité de l'intersection

    Les commandes contenant les deux accessoires forment l'événement A∩BA \cap B. Elles sont 5050, donc P(A∩B)=50200.P(A \cap B) = \dfrac{50}{200}.

  3. 3. Probabilité d'au moins un accessoire

    « Au moins un des deux accessoires » correspond à la réunion A∪BA \cup B. D'après la formule de la réunion, P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=130+80−50200=160200=45.P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \dfrac{130 + 80 - 50}{200} = \dfrac{160}{200} = \dfrac{4}{5}.

  4. 4. Probabilité de n'avoir aucun des deux

    « Ne contenir aucun des deux accessoires » est l'événement contraire de « en contenir au moins un », c'est-à-dire l'événement contraire de A∪BA \cup B. Donc P(A∪B‾)=1−P(A∪B)=1−45=15.P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}. La probabilité d'au moins un accessoire est 45\dfrac{4}{5}, et celle de n'en avoir aucun est 15\dfrac{1}{5}.
Réponse finale
P(A∪B)=45etP(A∪B‾)=15P(A \cup B) = \dfrac{4}{5} \quad\text{et}\quad P(\overline{A \cup B}) = \dfrac{1}{5}
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