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Échelle contre un mur (bonus)

Énoncé

Une échelle de 55 m est posée contre un mur vertical. Son pied est à 1,51{,}5 m du bas du mur, sur un sol horizontal. 1) Calculer l'angle α\alpha formé par l'échelle et le sol, arrondi au dixième de degré. 2) Calculer la hauteur hh atteinte sur le mur, arrondie au centimètre. 3) Vérifier la relation tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} sur cette situation.
B A C h 1,5 m 5 m α
Échelle [BC] contre le mur [AB] ; angle droit au pied du mur (A)

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Modéliser

    Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont l'angle droit est au bas du mur. L'échelle (55 m) est l'hypoténuse, la distance au mur (1,51{,}5 m) est le côté adjacent à α\alpha, et la hauteur hh est le côté opposé à α\alpha.

  2. 2. 1) Calculer l'angle au sol

    Adjacent et hypoténuse sont reliés par le cosinus : cos⁡α=1,55=0,3.\cos\alpha = \dfrac{1{,}5}{5} = 0{,}3. Donc α=cos⁡−1(0,3)≈72,54°.\alpha = \cos^{-1}(0{,}3) \approx 72{,}54°.

  3. 3. 2) Calculer la hauteur atteinte

    Opposé et hypoténuse sont reliés par le sinus : h=5×sin⁡α≈5×sin⁡(72,54°)≈5×0,9539≈4,77h = 5 \times \sin\alpha \approx 5 \times \sin(72{,}54°) \approx 5 \times 0{,}9539 \approx 4{,}77 m. On retrouve bien ce résultat avec Pythagore : h=52−1,52=22,75≈4,77h = \sqrt{5^2 - 1{,}5^2} = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77 m.

  4. 4. 3) Vérifier tan = sin / cos

    D'une part sin⁡αcos⁡α≈0,95390,3≈3,18.\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \approx \dfrac{0{,}9539}{0{,}3} \approx 3{,}18. D'autre part tan⁡α=opposeˊadjacent=4,771,5≈3,18.\tan\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{4{,}77}{1{,}5} \approx 3{,}18. Les deux valeurs coïncident : la relation est vérifiée.
Réponse finale
α≈72,5°;h≈4,77 m;tan⁡α=sin⁡αcos⁡α≈3,18\alpha \approx 72{,}5° \quad ; \quad h \approx 4{,}77 \ \text{m} \quad ; \quad \tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \approx 3{,}18
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