Seconde · Chapitre 5

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Cours de Seconde sur la trigonométrie dans le triangle rectangle : cosinus, sinus, tangente (CAH-SOH-TOA), calcul d'une longueur et d'un angle. Avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Seconde générale et technologique · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Mesurer la hauteur d’un arbre sans y grimper, l’inclinaison d’une rampe ou la portée d’une échelle : la trigonométrie relie les angles d’un triangle rectangle à ses côtés. Trois rapports suffisent - le cosinus, le sinus et la tangente - et un moyen mnémotechnique pour ne jamais les confondre.

Vocabulaire dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, le côté le plus long, opposé à l’angle droit, est l’hypoténuse. Pour un angle aigu $\widehat{B}$ donné :

le côté adjacent à $\widehat{B}$ est celui qui forme l’angle avec l’hypoténuse ;
le côté opposé à $\widehat{B}$ est celui qui ne touche pas le sommet $B$ .

Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu

Pour un angle aigu $\widehat{B}$ dans un triangle rectangle :

$\cos\widehat{B} = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin\widehat{B} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan\widehat{B} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

Le moyen mnémotechnique CAH-SOH-TOA

On retient les trois rapports en lisant chaque bloc de gauche à droite :

CAH : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse ;
SOH : Sinus = Opposé sur Hypoténuse ;
TOA : Tangente = Opposé sur Adjacent.

Encadrement du cosinus et du sinus

Pour tout angle aigu $\widehat{B}$ (avec $0° < \widehat{B} < 90°$ ) : $0 < \cos\widehat{B} < 1 \qquad \text{et} \qquad 0 < \sin\widehat{B} < 1$ Un cosinus ou un sinus supérieur à $1$ signale donc une erreur de calcul. La tangente, elle, peut dépasser $1$ .

Calculer une longueur (un angle et un côté connus)

Repérer l’angle aigu connu, le côté connu et le côté cherché (adjacent, opposé ou hypoténuse).
Choisir le rapport qui relie ces deux côtés : cosinus, sinus ou tangente.
Écrire l’égalité, puis isoler la longueur cherchée (multiplier ou diviser).
Calculer à la calculatrice en mode degré, et arrondir si l’énoncé le demande.

Calculer un angle (deux côtés connus)

Identifier la nature des deux côtés connus par rapport à l’angle cherché.
En déduire le rapport adapté et calculer sa valeur, par exemple $\cos\widehat{B} = \dfrac{4}{7}$ .
Utiliser la touche inverse de la calculatrice - $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ - pour obtenir la mesure de l’angle.
Arrondir au degré (ou au dixième) demandé.

Relation entre tangente, sinus et cosinus

Pour un angle aigu $\widehat{B}$ : $\tan\widehat{B} = \dfrac{\sin\widehat{B}}{\cos\widehat{B}}$ En effet, $\dfrac{\sin\widehat{B}}{\cos\widehat{B}} = \dfrac{\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}}{\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \tan\widehat{B}.$

Les pièges à éviter

Mauvais mode de calculatrice : pour des angles en degrés, vérifier que l’écran affiche DEG (et non RAD).
Confondre opposé et adjacent : toujours repartir de l’angle considéré avant de nommer les côtés.
Diviser au lieu de multiplier : si l’inconnue est au numérateur on multiplie, si elle est au dénominateur on divise. Un bon réflexe est de vérifier l’ordre de grandeur du résultat.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer un côté avec la tangente

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On donne l'angle $\widehat{C} = 28°$ et le côté $AB = 6$ cm. Calculer la longueur $AC$ , arrondie au dixième de centimètre.

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Calculer un côté avec le cosinus

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On donne l'angle $\widehat{B} = 35°$ et l'hypoténuse $BC = 10$ cm. Calculer la longueur $AB$ , arrondie au dixième de centimètre.

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Calculer un côté avec le sinus

Pour filmer une vidéo TikTok, Inès installe une perche à anneau lumineux. La perche $[BC]$ mesure $28$ cm et fait un angle de $50°$ avec le sol horizontal. On modélise la situation par le triangle $ABC$ rectangle en $A$ , où $AB$ est la hauteur atteinte par l'anneau au-dessus du sol et $C$ le pied de la perche. Calculer la hauteur $AB$ , arrondie au dixième de centimètre.

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Angle d'une rampe de skate

Au skatepark, Malik construit une rampe. La partie haute s'élève à $90$ cm au-dessus du sol et le bas de la rampe est à $240$ cm de ce point, mesurés à l'horizontale. On modélise la rampe par le triangle $ABC$ rectangle en $A$ , où $AB = 90$ cm est la hauteur verticale et $AC = 240$ cm la distance horizontale. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{C}$ que le plan incliné de la rampe forme avec le sol, arrondie au dixième de degré.

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Calculer la mesure d'un angle

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On donne $AB = 4$ cm et l'hypoténuse $BC = 7$ cm. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{B}$ , arrondie au dixième de degré.

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Hauteur d'un arbre (problème)

Pour estimer la hauteur d'un arbre, Léa se place à $15$ m de son pied, sur un terrain horizontal. Elle vise le sommet de l'arbre et mesure un angle d'élévation de $32°$ par rapport à l'horizontale. En supposant la visée faite au niveau du sol, calculer la hauteur de l'arbre, arrondie au dixième de mètre.

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Bonus

Échelle contre un mur (bonus)

Une échelle de $5$ m est posée contre un mur vertical. Son pied est à $1{,}5$ m du bas du mur, sur un sol horizontal. 1) Calculer l'angle $\alpha$ formé par l'échelle et le sol, arrondi au dixième de degré. 2) Calculer la hauteur $h$ atteinte sur le mur, arrondie au centimètre. 3) Vérifier la relation $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ sur cette situation.

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Tyrolienne d'un parc aventure

Dans un parc aventure, une tyrolienne relie le sommet $B$ d'un poteau de départ à un point d'arrivée $C$ situé au sol. Le câble $[BC]$ descend en faisant un angle de $18°$ avec l'horizontale, et le départ est à une hauteur $AB = 12$ m au-dessus du niveau de l'arrivée. On modélise la situation par le triangle $ABC$ rectangle en $A$ (le pied $A$ est à la verticale du départ, au niveau du sol d'arrivée). 1) Calculer la longueur $L = BC$ du câble, arrondie au dixième de mètre. 2) Calculer la distance horizontale $d = AC$ entre le pied du poteau et l'arrivée, arrondie au dixième de mètre. 3) Vérifier le résultat de la question 2) à l'aide du théorème de Pythagore.

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Questions fréquentes

Que signifie le moyen mnémotechnique CAH-SOH-TOA ?

Chaque bloc rappelle un rapport : CAH = Cosinus, Adjacent sur Hypoténuse ; SOH = Sinus, Opposé sur Hypoténuse ; TOA = Tangente, Opposé sur Adjacent. Ces rapports ne valent que dans un triangle rectangle, pour un angle aigu.

Comment calculer une longueur avec la trigonométrie ?

On repère l'angle aigu connu, puis le côté connu et le côté cherché (adjacent, opposé ou hypoténuse). On choisit le rapport (cos, sin ou tan) qui relie ces deux côtés, on écrit l'égalité, puis on isole la longueur cherchée.

Comment retrouver un angle à partir de deux longueurs ?

On calcule le rapport de deux côtés (par exemple opposé sur hypoténuse pour le sinus), puis on utilise la touche inverse de la calculatrice : cosinus moins un, sinus moins un ou tangente moins un, en mode degré.