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Rêves Vision
Seconde

Tyrolienne d'un parc aventure

Énoncé

Dans un parc aventure, une tyrolienne relie le sommet BB d'un poteau de départ à un point d'arrivée CC situé au sol. Le câble [BC][BC] descend en faisant un angle de 18°18° avec l'horizontale, et le départ est à une hauteur AB=12AB = 12 m au-dessus du niveau de l'arrivée. On modélise la situation par le triangle ABCABC rectangle en AA (le pied AA est à la verticale du départ, au niveau du sol d'arrivée). 1) Calculer la longueur L=BCL = BC du câble, arrondie au dixième de mètre. 2) Calculer la distance horizontale d=ACd = AC entre le pied du poteau et l'arrivée, arrondie au dixième de mètre. 3) Vérifier le résultat de la question 2) à l'aide du théorème de Pythagore.
B A C 12 m d L 18°
Tyrolienne [BC], départ en haut du poteau [AB], arrivée en C, angle de descente 18° en C
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par placer l'angle de 18°18° sur la figure : c'est l'angle C^\widehat{C}. Repère ensuite, par rapport à cet angle, quel côté est l'opposé (ABAB), lequel est l'adjacent (ACAC) et lequel est l'hypoténuse (BCBC).
  2. Pour la longueur du câble (question 1), tu connais le côté opposé (1212 m) et tu cherches l'hypoténuse : le rapport qui relie ces deux côtés est le sinus. Pour la distance horizontale (question 2), tu connais l'opposé et tu cherches l'adjacent : c'est la tangente.
  3. Dans les deux cas, l'inconnue se retrouve au dénominateur (par exemple sin⁡(18°)=12L\sin(18°) = \dfrac{12}{L}). Pour l'isoler, divise la longueur connue par le rapport : L=12sin⁡(18°)L = \dfrac{12}{\sin(18°)}. Pense à vérifier que ta calculatrice est en mode degré (DEG).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Repérer les côtés par rapport à l'angle de 18°

    L'angle de descente 18°18° est l'angle C^\widehat{C} du triangle. Par rapport à C^\widehat{C} : la hauteur AB=12AB = 12 m est le côté opposé, la distance horizontale ACAC est le côté adjacent, et le câble BCBC est l'hypoténuse.

  2. 2. 1) Calculer la longueur du câble

    Le côté opposé ABAB et l'hypoténuse BCBC sont reliés par le sinus (SOH) : sin⁡C^=ABBC\sin\widehat{C} = \dfrac{AB}{BC}, soit sin⁡(18°)=12L.\sin(18°) = \dfrac{12}{L}. L'inconnue LL est au dénominateur, donc on divise : L=12sin⁡(18°)≈120,309≈38,83L = \dfrac{12}{\sin(18°)} \approx \dfrac{12}{0{,}309} \approx 38{,}83 m. Le câble est plus long que la hauteur : c'est cohérent pour une hypoténuse.

  3. 3. 2) Calculer la distance horizontale

    Le côté opposé ABAB et le côté adjacent ACAC sont reliés par la tangente (TOA) : tan⁡C^=ABAC\tan\widehat{C} = \dfrac{AB}{AC}, soit tan⁡(18°)=12d.\tan(18°) = \dfrac{12}{d}. L'inconnue dd est au dénominateur, donc d=12tan⁡(18°)≈120,3249≈36,93d = \dfrac{12}{\tan(18°)} \approx \dfrac{12}{0{,}3249} \approx 36{,}93 m.

  4. 4. 3) Vérifier avec le théorème de Pythagore

    Dans le triangle ABCABC rectangle en AA, le théorème de Pythagore donne BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2, donc AC=BC2−AB2=L2−122≈38,832−144≈1363,8≈36,93AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{L^2 - 12^2} \approx \sqrt{38{,}83^2 - 144} \approx \sqrt{1363{,}8} \approx 36{,}93 m. On retrouve la même valeur qu'à la question 2) : les résultats sont cohérents. Le câble mesure L≈38,8L \approx 38{,}8 m et l'arrivée est à d≈36,9d \approx 36{,}9 m du pied du poteau.
Réponse finale
L=12sin⁡(18°)≈38,8 m;d=12tan⁡(18°)≈36,9 mL = \dfrac{12}{\sin(18°)} \approx 38{,}8 \ \text{m} \quad ; \quad d = \dfrac{12}{\tan(18°)} \approx 36{,}9 \ \text{m}
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