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Seconde Approfondissement gratuit

Encadrement par valeur absolue |x − 7| ≤ 0,5 (bonus)

Énoncé

Une pièce mécanique doit avoir une longueur xx (en cm) qui ne s'écarte pas de plus de 0,50{,}5 cm de la valeur cible 77 cm. Cette tolérance s'écrit ∣x−7∣≤0,5.|x - 7| \le 0{,}5. Résoudre cette inéquation et donner l'intervalle des longueurs acceptables.

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  1. 1. Interpréter l'écriture

    L'expression ∣x−7∣|x - 7| est la distance entre la longueur xx et la cible 7.7. L'inéquation ∣x−7∣≤0,5|x - 7| \le 0{,}5 signifie donc « xx est à une distance d'au plus 0,50{,}5 de 77 ».

  2. 2. Encadrer autour du centre

    On utilise ∣x−c∣≤r  ⟺  c−r≤x≤c+r|x - c| \le r \iff c - r \le x \le c + r, avec ici le centre c=7c = 7 et le rayon r=0,5.r = 0{,}5. On obtient 7−0,5≤x≤7+0,5.7 - 0{,}5 \le x \le 7 + 0{,}5.

  3. 3. Calculer les bornes

    On effectue les calculs : 7−0,5=6,57 - 0{,}5 = 6{,}5 et 7+0,5=7,5.7 + 0{,}5 = 7{,}5. L'encadrement devient 6,5≤x≤7,5.6{,}5 \le x \le 7{,}5. Les bornes sont incluses car l'inégalité est large.

  4. 4. Conclure

    L'ensemble des longueurs acceptables est l'intervalle fermé S=[ 6,5 ; 7,5 ].S = [\,6{,}5\,;\,7{,}5\,]. Une pièce de 6,36{,}3 cm serait rejetée car ∣6,3−7∣=0,7>0,5.|6{,}3 - 7| = 0{,}7 > 0{,}5.
Réponse finale
∣x−7∣≤0,5  ⟺  S=[ 6,5 ; 7,5 ]|x - 7| \le 0{,}5 \iff S = [\,6{,}5\,;\,7{,}5\,]
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