Seconde · Chapitre 1

La valeur absolue

Cours de Seconde sur la valeur absolue : définition comme distance, courbe en V, parité, variations, signe, équations et inéquations avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Seconde générale et technologique · Mis à jour en juin 2026

La valeur absolue d’un nombre mesure sa « taille » indépendamment de son signe : c’est sa distance à zéro. Cet outil, introduit en Seconde, est essentiel pour parler de distances sur la droite numérique et pour résoudre des équations et des inéquations d’un type nouveau.

Définition

Valeur absolue d'un nombre

La valeur absolue d’un réel $x$ , notée $|x|$ , est la distance de $x$ à $0$ sur la droite numérique. On la définit par : $|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$ Comme une distance ne peut pas être négative, on a toujours $|x| \ge 0$ .

Quelques valeurs

Par exemple :

$|4| = 4$ car $4 \ge 0$ ;
$|-7| = -(-7) = 7$ car $-7 < 0$ ;
$|0| = 0$ .

Retenir : la valeur absolue « efface le signe ». Le résultat est le nombre rendu positif.

La valeur absolue comme distance

Distance entre deux nombres

Pour deux réels $a$ et $b$ , l’expression $|a - b|$ est la distance entre $a$ et $b$ sur la droite numérique.

L’ordre n’a aucune importance : $|a - b| = |b - a|$ .

Calculer une distance

Pour trouver la distance entre $8$ et $3$ : $|8 - 3| = |5| = 5.$ On obtient la même chose dans l’autre sens : $|3 - 8| = |-5| = 5.$ La distance entre $8$ et $3$ vaut donc bien $5$ .

La courbe de la fonction valeur absolue

Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = |x|$ . Sa représentation graphique est une courbe en forme de V, dont le sommet est l’origine $O(0\,;\,0)$ .

Parité et symétrie

La fonction valeur absolue est paire : pour tout réel $x$ , $f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$ . Sa courbe en V est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Sens de variation

La fonction valeur absolue est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ puis croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ . Elle atteint son minimum $0$ en $x = 0$ .

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$	x	$	$+\infty$	$\searrow$	$0$

Signe de la valeur absolue

La valeur absolue est positive

Pour tout réel $x$ , on a $|x| \ge 0$ . De plus, la valeur absolue ne s’annule qu’en un seul point : $|x| = 0 \iff x = 0.$ Autrement dit, le seul nombre dont la distance à $0$ vaut $0$ , c’est $0$ lui-même.

Équations avec une valeur absolue

Résoudre |x| = a

Soit $a$ un réel. L’équation $|x| = a$ se résout selon le signe de $a$ :

si $a > 0$ : deux solutions $x = a$ ou $x = -a$ ;
si $a = 0$ : une solution $x = 0$ ;
si $a < 0$ : aucune solution (une valeur absolue n’est jamais négative).

Résoudre |x − c| = a

Lorsqu’on cherche les nombres situés à une distance $a$ d’un point $c$ , on résout $|x - c| = a$ (avec $a > 0$ ) en enlevant la valeur absolue de deux façons : $x - c = a \quad \text{ou} \quad x - c = -a.$ Par exemple, $|x - 3| = 2$ donne $x - 3 = 2$ ou $x - 3 = -2$ , c’est-à-dire $x = 5$ ou $x = 1$ . Ce sont bien les deux nombres situés à distance $2$ de $3$ .

Inéquations avec une valeur absolue

Inéquations |x| ≤ a et |x| ≥ a

Soit $a > 0$ . La valeur absolue traduit une condition sur la distance à $0$ :

$|x| \le a \iff -a \le x \le a$ , soit l’intervalle fermé $[-a\,;\,a]$ ;
$|x| \ge a \iff x \le -a$ ou $x \ge a$ .

« Être à une distance au plus $a$ de $0$ » revient à se trouver entre $-a$ et $a$ .

Distance à un point : |x − c| ≤ r

Plus généralement, $|x - c| \le r$ signifie « être à une distance au plus $r$ du point $c$ ». On obtient un intervalle centré en $c$ , de rayon $r$ : $|x - c| \le r \iff c - r \le x \le c + r,$ soit l’intervalle $[\,c - r\,;\,c + r\,]$ . C’est l’écriture idéale d’un encadrement : $|x - 7| \le 0{,}5$ équivaut à $6{,}5 \le x \le 7{,}5.$

Ne pas oublier la borne négative

Une erreur fréquente est de résoudre $|x| \le 4$ en écrivant seulement $x \le 4$ . C’est faux : il faut aussi la borne $-4$ .

La bonne réponse est $-4 \le x \le 4$ , soit $S = [-4\,;\,4]$ . La valeur absolue impose deux conditions à la fois, car $-3$ par exemple vérifie bien $|-3| = 3 \le 4$ .

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer des valeurs absolues

Calculer les valeurs absolues suivantes. a) $|6|$ ; b) $|-9|$ ; c) $|0|$ ; d) la distance entre $8$ et $3$ , c'est-à-dire $|8 - 3|$ .

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Résoudre |x| = 5 et |x − 3| = 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes. a) $|x| = 5$ ; b) $|x - 3| = 2$ .

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Valeurs absolues et écarts de points

Dans un tournoi de jeu vidéo, on note l'écart de points entre deux équipes par une valeur absolue. Calculer les expressions suivantes. a) $|-18|$ ; b) $|7 - 7|$ ; c) l'écart entre les scores $64$ et $80$ , c'est-à-dire $|64 - 80|$ ; d) $|-25|$ .

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Comparer deux distances avec la valeur absolue

La mémoire d'une console de jeu est saturée à $256$ Go. Deux mises à jour sont proposées : la version A laisserait l'occupation à $248$ Go, et la version B la porterait à $263$ Go. On mesure pour chaque version son écart au seuil de saturation par une valeur absolue : $|248 - 256|$ pour A et $|263 - 256|$ pour B. Calculer ces deux écarts, puis déterminer quelle version est la plus proche du seuil de $256$ Go.

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Résoudre l'inéquation |x| ≤ 4

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $|x| \le 4$ et donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

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Traduire une distance par une inéquation

Traduire à l'aide d'une valeur absolue la phrase : « la distance de $x$ à $2$ est strictement inférieure à $3$ ». Résoudre ensuite l'inéquation obtenue et donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

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Bonus

Encadrement par valeur absolue |x − 7| ≤ 0,5 (bonus)

Une pièce mécanique doit avoir une longueur $x$ (en cm) qui ne s'écarte pas de plus de $0{,}5$ cm de la valeur cible $7$ cm. Cette tolérance s'écrit $|x - 7| \le 0{,}5.$ Résoudre cette inéquation et donner l'intervalle des longueurs acceptables.

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Équation et tolérance sur un temps de livraison

Une application de livraison de repas annonce un temps de trajet cible de $30$ minutes. Pour une commande, on note $t$ le temps réel de livraison (en minutes) et on s'intéresse à son écart à la cible, mesuré par $|t - 30|.$

1) Un livreur arrive avec un écart de exactement $6$ minutes par rapport à la cible : cela se traduit par l'équation $|t - 30| = 6.$ Résoudre cette équation et interpréter les deux solutions.

2) L'application juge une livraison « dans les temps » lorsque l'écart à la cible est au plus $6$ minutes, ce qui s'écrit $|t - 30| \le 6.$ Résoudre cette inéquation et donner l'intervalle des temps acceptés.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que la valeur absolue d'un nombre ?

La valeur absolue |x| est la distance entre x et 0 sur la droite numérique. C'est donc toujours un nombre positif ou nul : |x| = x si x ≥ 0, et |x| = −x si x < 0. Par exemple |−7| = 7 et |4| = 4.

Comment résoudre une équation avec une valeur absolue comme |x| = 5 ?

Pour a > 0, l'équation |x| = a a deux solutions : x = a ou x = −a. Donc |x| = 5 donne x = 5 ou x = −5. Plus généralement, |x − c| = a se lit x − c = a ou x − c = −a.

Que représente |a − b| ?

L'expression |a − b| est la distance entre les deux nombres a et b sur la droite numérique. Par exemple |8 − 3| = 5, et la distance entre 8 et 3 vaut bien 5. L'ordre n'a pas d'importance : |a − b| = |b − a|.