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Rêves Vision
Sixième

Placer un food-truck à égale distance de trois stands

Énoncé

Lors d'un festival de street food, trois stands fixes occupent les positions AA, BB et CC d'un plan ; ces trois points ne sont pas alignés. Les organisateurs veulent installer un food-truck central exactement à la même distance des trois stands AA, BB et CC. Explique comment trouver précisément cet emplacement avec la règle et le compas, puis justifie pourquoi il est unique et à égale distance des trois stands.
A
Cercle circonscrit de centre O passant par les stands A, B et C
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. « À égale distance de deux stands » doit te faire penser à une droite particulière du cours : la médiatrice du segment qui relie ces deux stands.
  2. Trace la médiatrice de [AB][AB] (tu obtiens OA=OBOA = OB), puis la médiatrice de [BC][BC] (tu obtiens OB=OCOB = OC) : le point cherché est leur point d'intersection.
  3. Pour justifier : combine OA=OBOA = OB et OB=OCOB = OC pour obtenir OA=OB=OCOA = OB = OC. Ce point OO est le centre du cercle circonscrit au triangle ABCABC.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Traduire « à égale distance de deux stands »

    On cherche un point OO tel que OA=OB=OCOA = OB = OC. D'abord, regardons seulement deux stands, AA et BB. Les points à égale distance de AA et de BB vérifient OA=OBOA = OB : d'après la propriété d'équidistance, ils forment exactement la médiatrice du segment [AB][AB]. L'emplacement cherché est donc, entre autres, sur la médiatrice de [AB][AB].

  2. 2. Utiliser un deuxième couple de stands

    De la même façon, les points qui vérifient OB=OCOB = OC (à égale distance de BB et de CC) forment la médiatrice du segment [BC][BC]. Le point OO cherché doit être à la fois sur la médiatrice de [AB][AB] et sur la médiatrice de [BC][BC] : il est donc à leur intersection.

  3. 3. Construire le point O

    À la règle et au compas, on trace la médiatrice de [AB][AB] (même écartement de compas depuis AA puis depuis BB, on relie les deux croisements d'arcs), puis de la même manière la médiatrice de [BC][BC]. Comme les trois stands ne sont pas alignés, ces deux médiatrices ne sont pas parallèles : elles se coupent en un unique point, qu'on appelle OO. C'est l'emplacement du food-truck.

  4. 4. Justifier l'égalité des trois distances

    Le point OO est sur la médiatrice de [AB][AB], donc OA=OBOA = OB. Il est aussi sur la médiatrice de [BC][BC], donc OB=OCOB = OC. En mettant les deux ensemble : OA=OBOA = OB et OB=OCOB = OC donnent OA=OB=OCOA = OB = OC. Le point OO est donc bien à égale distance des trois stands. C'est le centre du cercle circonscrit au triangle ABCABC : le cercle de centre OO qui passe par AA, BB et CC. Le food-truck doit être placé au point OO, intersection des médiatrices de [AB][AB] et de [BC][BC] : c'est le centre du cercle circonscrit au triangle ABCABC, et il vérifie OA=OB=OCOA = OB = OC.
Réponse finale
Le point O, intersection des meˊdiatrices de [AB] et [BC] (centre du cercle circonscrit) : OA=OB=OC.\text{Le point } O \text{, intersection des médiatrices de } [AB] \text{ et } [BC] \text{ (centre du cercle circonscrit) : } OA = OB = OC.
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