Sixième · Chapitre 9

Figures planes et symétrie

Cours de Sixième sur la symétrie axiale et les figures planes : axes de symétrie, médiatrice, cercle circonscrit, triangles particuliers. Exercices corrigés de géométrie.

8 exercices corrigés · Cycle 3 - classe de sixième · Mis à jour en juin 2026

Quand tu plies une feuille en deux et que les deux moitiés d’un dessin se superposent pile, tu viens d’utiliser la symétrie axiale. C’est le pli du miroir : à gauche, à droite, exactement la même chose. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à construire des figures symétriques, à reconnaître les axes de symétrie d’une figure, et à tracer la médiatrice d’un segment, une droite magique dont tous les points sont à la même distance de deux points donnés.

Ce que tu sauras faire

Je sais reconnaître si une figure possède un (ou plusieurs) axe de symétrie et les tracer.
Je sais construire le symétrique d’un point, d’un segment ou d’une figure par rapport à une droite.
Je connais les propriétés conservées par la symétrie axiale (longueurs, angles, alignement).
Je sais ce qu’est la médiatrice d’un segment et sa propriété d’équidistance.
Je sais reconnaître les triangles particuliers (isocèle, équilatéral, rectangle) et leurs axes.

À quoi ça sert ?

Regarde autour de toi : la symétrie est partout. Une manette de jeu, le logo d’une marque de sneakers, un terrain de foot vu du ciel, un papillon, ton visage dans le miroir… Beaucoup d’objets sont construits « pareil à gauche et à droite ». Les designers s’en servent pour créer des logos équilibrés, les architectes pour dessiner des bâtiments, et toi, tu vas t’en servir pour construire des figures précises sans te tromper. La médiatrice, elle, sert dès qu’on cherche un point « à égale distance » de deux autres : exactement ce que fait une antenne placée au milieu de deux villes.

1. La symétrie axiale

Symétrique d'un point par rapport à une droite

Soit une droite $(d)$ et un point $A$ .

Le symétrique du point $A$ par rapport à la droite $(d)$ est le point $A'$ tel que la droite $(d)$ soit la médiatrice du segment $[AA']$ .

Autrement dit, $(d)$ joue le rôle d’un miroir : $A'$ est l’image de $A$ « de l’autre côté » du miroir, à la même distance.

Cas particulier : si le point $A$ est déjà sur la droite $(d)$ , alors son symétrique est lui-même ( $A' = A$ ).

Ce que la symétrie axiale conserve

La symétrie axiale ne déforme rien. Une figure et son symétrique sont superposables (on peut les faire coïncider en pliant la feuille le long de l’axe). La symétrie axiale conserve :

les longueurs (un segment et son symétrique ont la même longueur) ;
les angles (un angle et son symétrique ont la même mesure) ;
les aires (une figure et son symétrique ont la même aire) ;
l’alignement des points et le milieu d’un segment.

Seul le sens change : la figure est « retournée », comme dans un miroir.

Construire le symétrique d'un point à l'équerre

On cherche le symétrique $A'$ du point $A$ par rapport à la droite $(d)$ .

Place l’équerre pour tracer la droite perpendiculaire à $(d)$ qui passe par $A$ .
Note $H$ le point où cette perpendiculaire coupe la droite $(d)$ (le pied).
Mesure la distance $AH$ à la règle.
De l’autre côté de $(d)$ , sur la même perpendiculaire, place $A'$ tel que $HA' = HA$ .

Le point $A'$ est alors le symétrique de $A$ : on a bien $AH = HA'$ et $(d)$ perpendiculaire à $[AA']$ en son milieu.

Symétrique d'un segment

Pour construire le symétrique d’un segment $[AB]$ , on n’a pas besoin de placer tous ses points : il suffit de construire le symétrique $A'$ de $A$ et le symétrique $B'$ de $B$ , puis de tracer le segment $[A'B']$ .

Comme la symétrie conserve les longueurs, on a toujours $A'B' = AB$ . Même principe pour un triangle ou un polygone : on construit le symétrique de chaque sommet, puis on relie.

2. La médiatrice d’un segment

Médiatrice d'un segment

La médiatrice d’un segment $[AB]$ est la droite qui :

passe par le milieu du segment $[AB]$ ;
et lui est perpendiculaire (elle forme un angle droit avec $[AB]$ ).

La médiatrice de $[AB]$ est aussi l’axe de symétrie du segment $[AB]$ .

Propriété d'équidistance (la plus importante)

La médiatrice possède une propriété caractéristique très utile :

Tout point situé sur la médiatrice d’un segment $[AB]$ est à égale distance des deux extrémités $A$ et $B$ .

Si $M$ est un point de la médiatrice de $[AB]$ , alors $MA = MB$ .

Et la réciproque est vraie aussi : si un point $M$ vérifie $MA = MB$ , alors il est sur la médiatrice de $[AB]$ . C’est pour ça qu’on dit que la médiatrice est l’ensemble des points équidistants de $A$ et de $B$ .

Construire la médiatrice au compas (sans mesurer)

On veut tracer la médiatrice du segment $[AB]$ au compas et à la règle.

Ouvre le compas d’un écartement un peu plus grand que la moitié de $[AB]$ (garde le même écartement pour toute la construction).
Pointe sur $A$ et trace un arc de cercle au-dessus et en dessous du segment.
Pointe sur $B$ (même écartement) et trace deux nouveaux arcs : ils croisent les premiers en deux points, qu’on note $P$ et $Q$ .
Trace la droite $(PQ)$ à la règle : c’est la médiatrice de $[AB]$ .

Pourquoi ça marche ? Les points $P$ et $Q$ ont été construits à égale distance de $A$ et de $B$ (même écartement de compas), donc d’après la propriété d’équidistance, ils sont sur la médiatrice. Deux points suffisent à tracer une droite.

3. Les triangles particuliers

Triangle isocèle, équilatéral, rectangle

Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. Le sommet où se rejoignent ces deux côtés est appelé le sommet principal.
Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur (ses trois angles mesurent alors $60°$ ).
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.

Axes de symétrie des triangles particuliers

Le triangle isocèle possède un axe de symétrie : c’est la médiatrice de sa base (le côté qui n’a pas la même longueur que les deux autres). Cet axe passe par le sommet principal.
Le triangle équilatéral possède trois axes de symétrie : les médiatrices de ses trois côtés.
Un triangle quelconque (trois côtés de longueurs différentes) ne possède aucun axe de symétrie. Un triangle rectangle « ordinaire » n’a pas d’axe de symétrie non plus.

Cercle circonscrit à un triangle (nouveauté)

Voici une propriété qui réunit médiatrice et cercle.

Dans un triangle, les médiatrices des trois côtés se coupent toutes en un même point, appelé $O$ .

Ce point $O$ est à égale distance des trois sommets du triangle (puisqu’il est sur les trois médiatrices, donc équidistant des extrémités de chaque côté). On peut donc tracer un cercle de centre $O$ qui passe par les trois sommets : c’est le cercle circonscrit au triangle.

Pour le construire : on trace deux médiatrices, leur point d’intersection donne le centre $O$ , et on ouvre le compas de $O$ jusqu’à un sommet.

Le piège à éviter avec les axes du rectangle

FAUX : « Un rectangle a quatre axes de symétrie, comme le carré. » C’est l’erreur la plus fréquente quand on débute.

VRAI : un rectangle (non carré) possède seulement deux axes de symétrie : les deux droites qui passent par les milieux des côtés opposés (une horizontale, une verticale). Ses diagonales NE SONT PAS des axes de symétrie : si tu plies un rectangle le long d’une diagonale, les deux moitiés ne se superposent pas.

Le carré, lui, possède bien quatre axes : les deux médianes et les deux diagonales, car tous ses côtés sont égaux.

Le test du pliage

En cas de doute sur un axe de symétrie, imagine (ou fais vraiment) le pliage de la figure le long de la droite. Si les deux moitiés se recouvrent parfaitement, bord contre bord, c’est un axe de symétrie. Sinon, ce n’en est pas un. C’est le test le plus sûr, et il ne trompe jamais.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Combien d'axes de symétrie pour un carré ?

On considère un carré $ABCD$ . Combien d'axes de symétrie possède-t-il ? Décris-les précisément.

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Le périmètre du fanion isocèle d'une marque de sneakers

Une marque de sneakers crée un petit fanion en forme de triangle $RST$ pour ses boutiques. Ce triangle est isocèle en $S$ : les deux côtés $[SR]$ et $[ST]$ ont la même longueur, $SR = ST = 13$ cm, et la base $[RT]$ mesure $RT = 8$ cm. Calcule le périmètre de ce fanion, puis indique combien d'axes de symétrie il possède et lequel.

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Tracer le symétrique d'un point

On donne une droite $(d)$ et un point $A$ situé à $3$ cm de cette droite. Explique, étape par étape, comment construire à l'équerre et à la règle le symétrique $A'$ du point $A$ par rapport à la droite $(d)$ .

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La manette de jeu est-elle symétrique ?

Tu poses ta manette de jeu bien droite devant toi, vue de dessus. Sa coque (la forme extérieure) est conçue « pareille à gauche et à droite » : poignée gauche et poignée droite identiques. Combien d'axes de symétrie possède la forme extérieure de la manette ? Et si on tient compte des boutons (croix directionnelle à gauche, quatre boutons de couleurs différentes à droite), la manette est-elle encore symétrique ?

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Les axes de symétrie du logo rectangulaire d'une chaîne de streaming

Une chaîne de streaming a un logo en forme de rectangle (un bandeau plus large que haut, ce n'est pas un carré). Un graphiste affirme : « Ce logo a $4$ axes de symétrie, comme un carré : ses $2$ médianes et ses $2$ diagonales. » A-t-il raison ? Donne le nombre exact d'axes de symétrie du logo rectangulaire, puis dis combien il en aurait de plus si on le rendait carré.

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Symétrique d'un triangle par rapport à une droite verticale

Sur un quadrillage, on place une droite verticale $(d)$ le long de la colonne numéro $5$ . Un triangle $ABC$ a pour sommets $A(2 ; 1)$ , $B(4 ; 5)$ et $C(1 ; 3)$ (colonne ; ligne). Construis le symétrique du triangle $ABC$ par rapport à $(d)$ , en donnant les coordonnées des sommets images.

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Bonus

Construire la médiatrice au compas et la propriété d'équidistance

Dans une partie de Minecraft, deux joueurs veulent construire un coffre commun exactement à la même distance de leur maison respective. La maison de Léa est le point $A$ , celle de Sami le point $B$ , avec $AB = 6$ cm sur le plan. Construis au compas et à la règle la droite sur laquelle ils peuvent placer le coffre, puis explique pourquoi tous les points de cette droite conviennent.

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Placer un food-truck à égale distance de trois stands

Lors d'un festival de street food, trois stands fixes occupent les positions $A$ , $B$ et $C$ d'un plan ; ces trois points ne sont pas alignés. Les organisateurs veulent installer un food-truck central exactement à la même distance des trois stands $A$ , $B$ et $C$ . Explique comment trouver précisément cet emplacement avec la règle et le compas, puis justifie pourquoi il est unique et à égale distance des trois stands.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un axe de symétrie ?

Un axe de symétrie est une droite qui partage une figure en deux parties qui se superposent exactement quand on plie la feuille le long de cette droite. Par exemple, un carré possède quatre axes de symétrie : ses deux diagonales et les deux droites qui passent par le milieu de ses côtés opposés.

Qu'est-ce que la médiatrice d'un segment ?

La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment en son milieu en formant un angle droit. Sa propriété la plus importante : tout point situé sur la médiatrice est à égale distance des deux extrémités du segment. La médiatrice est aussi l'axe de symétrie du segment.

Qu'est-ce que la symétrie axiale conserve ?

La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, les aires et l'alignement des points. Une figure et son symétrique ont donc exactement la même forme et la même taille : ils sont superposables. Seul le sens est inversé, comme dans un miroir.

1. La symétrie axiale

2. La médiatrice d’un segment

3. Les triangles particuliers

Exercices corrigés

Combien d'axes de symétrie pour un carré ?

Le périmètre du fanion isocèle d'une marque de sneakers

Tracer le symétrique d'un point

La manette de jeu est-elle symétrique ?

Les axes de symétrie du logo rectangulaire d'une chaîne de streaming

Symétrique d'un triangle par rapport à une droite verticale

Construire la médiatrice au compas et la propriété d'équidistance

Placer un food-truck à égale distance de trois stands

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Questions fréquentes

Combien d'axes de symétrie pour un carré ?

La manette de jeu est-elle symétrique ?