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Rêves Vision
Sixième

Organiser un tournoi de 180 joueurs en équipes

Énoncé

Un tournoi en ligne réunit 180180 joueurs inscrits. L'organisateur veut former des équipes qui contiennent toutes le même nombre de joueurs, sans qu'aucun joueur reste sur le banc. a. En utilisant les critères de divisibilité, peut-il faire des équipes de 22 joueurs ? de 33 joueurs ? de 55 joueurs ? b. Finalement, il choisit des équipes de 88 joueurs. Combien d'équipes complètes peut-il former, et combien de joueurs restent sans équipe ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Former des équipes de même taille sans joueur restant, c'est tester si 180180 est divisible par la taille choisie : utilise les critères (dernier chiffre pour 22 et 55, somme des chiffres pour 33).
  2. Pour les équipes de 88, cherche dans la table de 88 le plus grand résultat qui ne dépasse pas 180180 : ce sera le nombre d'équipes (le quotient).
  3. Une fois le quotient trouvé, le nombre de joueurs restants est le reste, obtenu par la soustraction 180−8×22180 - 8 \times 22, et il doit être strictement plus petit que 88.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Question a : tester la divisibilité par 2

    Faire des équipes de 22 sans joueur restant revient à se demander si 180180 est divisible par 22. D'après le critère, un nombre est divisible par 22 s'il se termine par 00, 22, 44, 66 ou 88. Or 180180 se termine par 00, donc 180180 est divisible par 22 : des équipes de 22 sont possibles.

  2. 2. Question a : tester la divisibilité par 5

    D'après le critère, un nombre est divisible par 55 s'il se termine par 00 ou 55. Comme 180180 se termine par 00, 180180 est divisible par 55 : des équipes de 55 sont possibles.

  3. 3. Question a : tester la divisibilité par 3

    D'après le critère, un nombre est divisible par 33 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 33. La somme des chiffres de 180180 vaut 1+8+0=91 + 8 + 0 = 9, et 9=3×39 = 3 \times 3 est divisible par 33. Donc 180180 est divisible par 33 : des équipes de 33 sont possibles. Les trois découpages (par 22, par 33 et par 55) tombent juste.

  4. 4. Question b : poser la division euclidienne par 8

    Avec des équipes de 88, on cherche le nombre d'équipes complètes : c'est la division euclidienne de 180180 par 88. Le dividende est 180180 et le diviseur est 88. On encadre avec la table de 88 : 8×22=1768 \times 22 = 176 et 8×23=1848 \times 23 = 184 dépasse 180180. Le plus grand multiple de 88 inférieur à 180180 est donc 176176, ce qui donne un quotient égal à 2222.

  5. 5. Question b : calculer le reste et conclure

    Le reste est la différence 180−176=4180 - 176 = 4. On vérifie que 4<84 < 8, donc la division est terminée : on ne peut pas compléter une équipe de plus. On écrit l'égalité 180=8×22+4180 = 8 \times 22 + 4. L'organisateur peut former 2222 équipes complètes de 88 joueurs, et il reste 44 joueurs sans équipe.
Réponse finale
180 divisible par 2, 3 et 5;180=8×22+4 (22 eˊquipes, reste 4)180 \text{ divisible par } 2, \ 3 \text{ et } 5 \quad ; \quad 180 = 8 \times 22 + 4 \ (22 \text{ équipes}, \ \text{reste } 4)
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