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Rêves Vision
Terminale pro

Combien d'années pour atteindre 6 000 euros

Énoncé

Un commerçant place 5 0005\,000 € au taux annuel de 4 %4\,\% en intérêts composés. Il aimerait disposer d'au moins 6 0006\,000 € pour renouveler son matériel. Au bout de combien d'années entières son capital atteindra-t-il 6 0006\,000 € ? Justifier en calculant le capital année après année.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Écris d'abord le capital après nn années sous la forme 5 000×(1,04)n5\,000 \times (1{,}04)^{n}, puis cherche à partir de quel nn il dépasse 6 0006\,000 €.
  2. Tu n'as pas besoin de formule compliquée : calcule le capital pour n=4n = 4, puis n=5n = 5, et repère où il passe au-dessus de 6 0006\,000 €.
  3. Pour n=4n = 4 tu dois trouver environ 5 849,295\,849{,}29 € (trop peu) ; calcule alors 5 000×(1,04)55\,000 \times (1{,}04)^{5}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Traduire le problème

    Le capital au bout de nn années est Cn=5 000×(1,04)nC_n = 5\,000 \times (1{,}04)^{n}. On cherche la première valeur entière de nn pour laquelle 5 000×(1,04)n≥6 000.5\,000 \times (1{,}04)^{n} \geq 6\,000.

  2. 2. Calculer le capital pour les premières années

    On calcule de proche en proche : C4=5 000×(1,04)4=5 000×1,16985856≈5 849,29C_4 = 5\,000 \times (1{,}04)^{4} = 5\,000 \times 1{,}16985856 \approx 5\,849{,}29 €. C'est encore inférieur à 6 0006\,000 € : 4 ans ne suffisent pas.

  3. 3. Passer à l'année suivante

    C5=5 000×(1,04)5=5 000×1,2166529≈6 083,26C_5 = 5\,000 \times (1{,}04)^{5} = 5\,000 \times 1{,}2166529 \approx 6\,083{,}26 €. Cette fois, 6 083,26≥6 0006\,083{,}26 \geq 6\,000 : l'objectif est atteint.

  4. 4. Conclure

    La première année entière où le capital dépasse 6 0006\,000 € est la 5e. Le commerçant disposera d'au moins 6 0006\,000 € au bout de 5 ans (environ 6 083,266\,083{,}26 €).
Réponse finale
5 000×(1,04)5≈6 083,26 euros≥6 000 euros⇒n=5 ans5\,000 \times (1{,}04)^{5} \approx 6\,083{,}26 \ \text{euros} \geq 6\,000 \ \text{euros} \quad \Rightarrow \quad n = 5 \ \text{ans}
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