Terminale pro · Chapitre 6

Intérêts composés

Cours de Terminale pro sur les intérêts composés : capital placé, durée, emprunt et tableau d'amortissement, taux mensuel équivalent. Exemples métier et exercices corriges.

8 exercices corrigés · Terminale professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Tu places 2 000 € sur un livret, ou tu achètes un smartphone à crédit : dans les deux cas, des intérêts entrent en jeu. La grande question, c’est de savoir s’ils se calculent toujours sur la même somme de départ, ou s’ils se cumulent d’une année sur l’autre. Avec les intérêts composés, l’argent « travaille » sur l’argent déjà gagné, et la différence finit par compter. Ce chapitre te donne les outils pour calculer un placement, lire un tableau d’amortissement de crédit et comparer un achat comptant à un achat à crédit.

Ce que tu sauras faire

Je sais calculer un capital après plusieurs années en intérêts composés.
Je sais comparer intérêts simples et intérêts composés sur une même durée.
Je sais déterminer la durée nécessaire pour qu’un capital atteigne un objectif.
Je sais compléter un tableau d’amortissement et calculer le coût total d’un crédit.
Je sais calculer un taux mensuel équivalent à un taux annuel.

À quoi ça sert dans ton futur métier ?

Tu travailles en boutique, dans un service commercial ou à l’accueil d’une banque. Un client demande : « Si je place 2 000 €, j’ai combien dans 3 ans ? », ou « Ce smartphone à 720 €, ça me coûte combien si je le prends en 12 fois ? ». Savoir manier les intérêts composés et lire un tableau d’amortissement, c’est répondre sans se tromper et conseiller honnêtement un client. C’est aussi très utile pour tes propres choix : épargne, crédit auto, financement d’un achat.

1. Intérêts simples : rappel

Intérêts simples

Avec les intérêts simples, les intérêts sont calculés chaque année sur le capital de départ, qui ne change pas. Si on place un capital $C$ au taux annuel $t$ (écrit en nombre décimal) pendant $n$ années :

$\text{intérêts} = C \times t \times n$

Le capital obtenu (capital de départ + intérêts) vaut alors :

$C_n = C \times (1 + t \times n)$

Un placement en intérêts simples

On place $C = 1\,500$ € au taux $t = 3\,\% = 0{,}03$ pendant $n = 4$ ans, en intérêts simples.

Intérêts d’une année : $1\,500 \times 0{,}03 = 45$ €. Sur 4 ans : $45 \times 4 = 180$ €.

Capital final : $C_4 = 1\,500 \times (1 + 0{,}03 \times 4) = 1\,500 \times 1{,}12 = 1\,680$ €.

2. Intérêts composés

Intérêts composés

Avec les intérêts composés, les intérêts gagnés une année s’ajoutent au capital : l’année suivante, ils produisent à leur tour des intérêts. On dit que les intérêts sont capitalisés.

D’une année sur l’autre, on multiplie le capital par le coefficient multiplicateur $1 + t$ .

Capital après n années en intérêts composés

Si on place un capital $C$ au taux annuel $t$ (en nombre décimal) pendant $n$ années en intérêts composés, le capital obtenu est :

$C_n = C \times (1 + t)^{n}$

Le nombre $1 + t$ est le coefficient multiplicateur ; l’exposant $n$ est la durée de placement en années.

Calculer un capital en intérêts composés

On connaît le capital de départ, le taux et la durée ; on cherche le capital final.

Écrire le taux en nombre décimal : $2\,\% = 0{,}02$ , puis le coefficient $1 + t$ .
Élever ce coefficient à la puissance $n$ (le nombre d’années).
Multiplier par le capital de départ.
Arrondir au centime et, si besoin, calculer les intérêts par différence avec le capital de départ.

Exemple : $C = 2\,000$ €, $t = 2\,\% = 0{,}02$ , $n = 3$ ans. $C_3 = 2\,000 \times (1{,}02)^{3} = 2\,000 \times 1{,}061208 = 2\,122{,}42$ € (arrondi au centime). Les intérêts valent $2\,122{,}42 - 2\,000 = 122{,}42$ €.

Repère pour ta calculatrice

Sur la calculatrice, la touche de puissance est notée $\boxed{x^y}$ ou $\boxed{\wedge}$ . Pour $(1{,}02)^{3}$ , tu tapes 1.02 puis ^ puis 3. Tape bien le coefficient $1{,}02$ , pas le taux $0{,}02$ : c’est l’erreur numéro un.

Le piège du coefficient et de la puissance

FAUX : pour 2 000 € à 2 % sur 3 ans, écrire $C_3 = 2\,000 \times 0{,}02 \times 3$ (ça, ce sont des intérêts simples), ou bien $C_3 = 2\,000 \times 1{,}02 \times 3$ (multiplier par 3 au lieu d’élever à la puissance 3).

VRAI : en intérêts composés, on élève à la puissance. Le coefficient est $1 + t = 1{,}02$ , et on calcule $C_3 = 2\,000 \times (1{,}02)^{3}$ . Multiplier par $1{,}02$ trois fois de suite revient bien à élever à la puissance 3 : $2\,000 \times 1{,}02 \times 1{,}02 \times 1{,}02 = 2\,000 \times (1{,}02)^{3}.$

Pourquoi les intérêts composés rapportent plus

Sur une seule année, intérêts simples et composés donnent le même résultat. À partir de la deuxième année, les intérêts composés s’appliquent à un capital plus gros (qui inclut les intérêts déjà gagnés) : ils dépassent donc toujours les intérêts simples. Plus la durée est longue, plus l’écart se creuse.

3. Déterminer la durée d’un placement

Trouver le nombre d'années pour atteindre un objectif

On connaît le capital de départ, le capital visé et le taux ; on cherche la durée $n$ .

Écrire l’inéquation $C \times (1 + t)^{n} \geq C_{\text{visé}}$ .
La calculer pas à pas : on multiplie successivement par $1 + t$ et on s’arrête dès que l’objectif est atteint (méthode par essais successifs, parfaitement acceptée).
Donner la première valeur entière de $n$ qui convient (on ne place pas une fraction d’année).

Exemple : capital $5\,000$ €, taux $4\,\%$ , objectif $6\,000$ €. On cherche $n$ tel que $5\,000 \times (1{,}04)^{n} \geq 6\,000$ .

$n$	$5\,000 \times (1{,}04)^{n}$
4	$5\,849{,}29$ €
5	$6\,083{,}26$ €

Au bout de la 5e année, le capital dépasse 6 000 € : il faut donc 5 ans.

4. Emprunts et tableau d’amortissement

Annuité, intérêts, amortissement

Quand on emprunte, on rembourse par échéances régulières (chaque année : une annuité ; chaque mois : une mensualité). À chaque échéance, le versement se partage en deux parts :

les intérêts de la période : ils se calculent sur le capital restant dû au début de la période ;
l’amortissement : la part qui rembourse réellement la somme empruntée.

On a toujours, pour une échéance : $\text{annuité} = \text{intérêts de la période} + \text{amortissement}.$

Compléter une ligne d'un tableau d'amortissement

Pour chaque ligne (chaque période) :

Intérêts $=$ capital restant dû en début de période $\times$ taux de la période.
Amortissement $=$ annuité $-$ intérêts.
Capital restant dû en fin de période $=$ capital restant dû en début de période $-$ amortissement.
Le capital de fin d’une ligne devient le capital de début de la ligne suivante. À la dernière ligne, il doit tomber à 0 €.

Le coût total du crédit s’obtient en additionnant toutes les annuités, puis en retranchant le capital emprunté ; il est égal à la somme de tous les intérêts payés.

Une ligne calculée

Emprunt de $5\,000$ € au taux annuel $4\,\%$ , annuité constante de $1\,377{,}45$ €.

Intérêts de l’année 1 : $5\,000 \times 0{,}04 = 200$ €.
Amortissement : $1\,377{,}45 - 200 = 1\,177{,}45$ €.
Capital restant dû fin d’année 1 : $5\,000 - 1\,177{,}45 = 3\,822{,}55$ €.

L’année 2, les intérêts se calculeront sur $3\,822{,}55$ € (et non plus sur 5 000 €) : c’est tout l’intérêt du tableau.

Sur quel capital calculer les intérêts ?

FAUX : calculer les intérêts de chaque année sur le capital emprunté de départ (ici 5 000 € à chaque ligne).

VRAI : les intérêts d’une période se calculent sur le capital restant dû au début de cette période, qui diminue d’une ligne à l’autre. Comme le capital baisse, la part d’intérêts baisse aussi, et la part d’amortissement augmente.

5. Taux équivalents et taux moyen

Taux mensuel équivalent

Un taux mensuel équivalent $t_m$ à un taux annuel $t$ est le taux qui, appliqué 12 fois (une fois par mois) en intérêts composés, redonne exactement le même coefficient annuel $1 + t$ . Il vérifie :

$(1 + t_m)^{12} = 1 + t \qquad \text{donc} \qquad 1 + t_m = (1 + t)^{\frac{1}{12}}.$

Calculer un taux mensuel équivalent

Écrire le coefficient annuel $1 + t$ (par exemple $1{,}06$ pour $6\,\%$ ).
En prendre la racine douzième, c’est-à-dire l’élever à la puissance $\dfrac{1}{12}$ : $(1 + t)^{\frac{1}{12}}$ .
Retrancher 1 pour obtenir $t_m$ , puis le convertir en pourcentage.

Exemple : pour $t = 6\,\%$ , $1 + t_m = (1{,}06)^{\frac{1}{12}} \approx 1{,}004868$ , donc $t_m \approx 0{,}004868 = 0{,}49\,\%$ par mois (arrondi au centième de pourcent).

Mensuel équivalent ≠ annuel divisé par 12

On est tenté d’écrire $t_m = \dfrac{6\,\%}{12} = 0{,}5\,\%$ : c’est le taux proportionnel (ou taux mensuel « simple »), une approximation. Le taux équivalent ( $\approx 0{,}49\,\%$ ) est un peu plus petit, car la capitalisation mensuelle « rattrape » la différence. Au lycée pro, vérifie bien ce que demande l’énoncé : proportionnel ou équivalent.

Taux moyen

Quand un même capital est placé à des taux différents sur des périodes successives, le taux moyen $t_M$ est le taux unique qui, appliqué sur toute la durée, donne le même capital final. Pour $n$ années aux coefficients $1+t_1$ , …, $1+t_n$ :

$(1 + t_M)^{n} = (1 + t_1) \times (1 + t_2) \times \dots \times (1 + t_n).$

On en déduit $1 + t_M = \big[(1+t_1)\times \dots \times(1+t_n)\big]^{\frac{1}{n}}$ (c’est une moyenne géométrique des coefficients).

L'essentiel à retenir

Intérêts composés sur $n$ ans : $C_n = C \times (1 + t)^{n}$ (on élève à la puissance).
Intérêts simples : $C_n = C \times (1 + t \times n)$ (on multiplie). Composés $>$ simples dès la 2e année.
Tableau d’amortissement : intérêts sur le capital restant dû ; amortissement $=$ annuité $-$ intérêts ; coût du crédit $=$ somme des intérêts.
Taux mensuel équivalent : $(1 + t_m)^{12} = 1 + t$ .

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Intérêts simples ou composés sur 4 ans

On place $1\,500$ € au taux annuel de $3\,\%$ pendant 4 ans. Calculer le capital obtenu au bout de 4 ans dans deux cas : en intérêts simples, puis en intérêts composés. Arrondir au centime. Quel écart obtient-on entre les deux ?

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Placer 2 000 euros pendant 3 ans

Avec ses premiers salaires, Lina place $2\,000$ € sur un livret au taux annuel de $2\,\%$ , en intérêts composés. Elle ne touche pas à cet argent pendant 3 ans. Quel capital aura-t-elle au bout de 3 ans ? Arrondir au centime. Combien aura-t-elle gagné d'intérêts ?

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Réinvestir 800 euros dans la revente de sneakers

Maya se lance dans la revente de sneakers. Elle réinvestit chaque année la totalité de sa mise et de ses gains, ce qui revient à faire fructifier son capital de départ comme un placement en intérêts composés. Elle part de $800$ € et estime un gain régulier de $3\,\%$ par an. Si elle laisse « tourner » son argent pendant 4 ans, de quel capital disposera-t-elle ? Arrondir au centime, puis donner le total des gains accumulés.

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Combien d'années pour atteindre 6 000 euros

Un commerçant place $5\,000$ € au taux annuel de $4\,\%$ en intérêts composés. Il aimerait disposer d'au moins $6\,000$ € pour renouveler son matériel. Au bout de combien d'années entières son capital atteindra-t-il $6\,000$ € ? Justifier en calculant le capital année après année.

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Compléter un tableau d'amortissement de crédit

Pour équiper son food-truck, Yanis emprunte $5\,000$ € au taux annuel de $4\,\%$ , remboursés en 4 annuités constantes de $1\,377{,}45$ €. La première ligne du tableau d'amortissement est donnée :

| Année | Capital dû en début | Intérêts (4 %) | Amortissement | Capital dû en fin |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 000,00 € | 200,00 € | 1 177,45 € | 3 822,55 € |

Compléter les lignes des années 2, 3 et 4 (vérifier que le capital tombe à $0$ €), puis calculer le coût total du crédit.

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Taux moyen sur trois années de placement

Pour préparer l'achat de son premier scooter, Sami place $2\,500$ € sur un compte dont le taux change chaque année : $2\,\%$ la première année, $6\,\%$ la deuxième, puis $3\,\%$ la troisième, en intérêts composés.

1. Calculer le capital obtenu au bout des 3 ans (arrondir au centime).
2. Déterminer le taux annuel moyen, c'est-à-dire le taux unique qui, appliqué pendant 3 ans, donnerait le même capital final (arrondir à $0{,}01\,\%$ près).

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Crédit d'atelier : annuité et tableau d'amortissement

Pour équiper l'atelier de son entreprise de réparation de vélos, Inès emprunte $8\,000$ € au taux annuel de $5\,\%$ , remboursés en 3 annuités constantes.

1. Calculer le montant de l'annuité constante, sachant qu'elle se calcule par $a = \dfrac{8\,000 \times t}{1 - (1 + t)^{-3}}$ où $t = 0{,}05$ (arrondir au centime).
2. Construire le tableau d'amortissement complet des 3 années et vérifier que le capital restant dû tombe à $0$ € à la fin.
3. En déduire le coût total du crédit.

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Bonus

Smartphone au comptant ou à crédit

Un smartphone coûte $600$ € au comptant. La boutique propose un crédit au taux annuel de $6\,\%$ , remboursé en 12 mensualités constantes sur un an.

1. Calculer le taux mensuel équivalent à $6\,\%$ annuel (arrondir à $0{,}000001$ près).
2. Sachant que la mensualité constante se calcule par $m = \dfrac{600 \times t_m}{1 - (1 + t_m)^{-12}}$ , calculer la mensualité (arrondir au centime).
3. En déduire le coût total à crédit et le surcoût par rapport à l'achat au comptant.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre intérêts simples et intérêts composés ?

Avec les intérêts simples, on calcule chaque année les intérêts sur le capital de départ uniquement, qui ne change pas. Avec les intérêts composés, les intérêts gagnés une année s'ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts l'année suivante. Sur plusieurs années, les intérêts composés rapportent davantage que les intérêts simples.

Comment calculer un capital après plusieurs années en intérêts composés ?

On multiplie le capital de départ par un coefficient multiplicateur élevé à la puissance du nombre d'années. Ce coefficient vaut un plus le taux écrit en nombre décimal. Par exemple, pour un taux de 2 pour cent sur 3 ans, on multiplie le capital de départ par 1,02 au cube.

À quoi sert un tableau d'amortissement d'un emprunt ?

Un tableau d'amortissement détaille, pour chaque échéance d'un crédit, la part qui paie les intérêts et la part qui rembourse réellement la somme empruntée, appelée le capital. Il permet de suivre la dette qui diminue jusqu'à zéro et de calculer le coût total du crédit en additionnant tous les intérêts payés.