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Crédit d'atelier : annuité et tableau d'amortissement

Énoncé

Pour équiper l'atelier de son entreprise de réparation de vélos, Inès emprunte 8 0008\,000 € au taux annuel de 5 %5\,\%, remboursés en 3 annuités constantes.

1. Calculer le montant de l'annuité constante, sachant qu'elle se calcule par a=8 000×t1−(1+t)−3a = \dfrac{8\,000 \times t}{1 - (1 + t)^{-3}} où t=0,05t = 0{,}05 (arrondir au centime).
2. Construire le tableau d'amortissement complet des 3 années et vérifier que le capital restant dû tombe à 00 € à la fin.
3. En déduire le coût total du crédit.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par le dénominateur : calcule (1,05)3=1,157625(1{,}05)^{3} = 1{,}157625, puis (1,05)−3(1{,}05)^{-3} qui en est l'inverse, soit 11,157625≈0,863838.\dfrac{1}{1{,}157625} \approx 0{,}863838.
  2. L'annuité est a=8 000×0,051−0,863838=4000,136162a = \dfrac{8\,000 \times 0{,}05}{1 - 0{,}863838} = \dfrac{400}{0{,}136162}, tu dois trouver environ 2 937,672\,937{,}67 €.
  3. Pour chaque ligne du tableau : intérêts == capital restant dû ×0,05\times 0{,}05, amortissement == annuité −- intérêts, puis capital de fin == capital de début −- amortissement. Le capital de fin d'une année devient le capital de début de la suivante.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer le dénominateur de l'annuité

    On a t=0,05t = 0{,}05, donc 1+t=1,051 + t = 1{,}05. On calcule (1,05)3=1,157625(1{,}05)^{3} = 1{,}157625, puis (1,05)−3=1(1,05)3=11,157625≈0,863838.(1{,}05)^{-3} = \dfrac{1}{(1{,}05)^{3}} = \dfrac{1}{1{,}157625} \approx 0{,}863838. Donc le dénominateur vaut 1−(1,05)−3≈1−0,863838=0,136162.1 - (1{,}05)^{-3} \approx 1 - 0{,}863838 = 0{,}136162.

  2. 2. Calculer l'annuité constante

    Au numérateur : 8 000×t=8 000×0,05=400.8\,000 \times t = 8\,000 \times 0{,}05 = 400. D'après la formule, a=4000,136162≈2 937,67a = \dfrac{400}{0{,}136162} \approx 2\,937{,}67 € (arrondi au centime). C'est la somme qu'Inès rembourse chaque année.

  3. 3. Année 1 (capital de départ 8 000 €)

    Intérêts : 8 000×0,05=400,008\,000 \times 0{,}05 = 400{,}00 €. Amortissement == annuité −- intérêts =2 937,67−400,00=2 537,67= 2\,937{,}67 - 400{,}00 = 2\,537{,}67 €. Capital restant dû en fin d'année : 8 000,00−2 537,67=5 462,338\,000{,}00 - 2\,537{,}67 = 5\,462{,}33 €.

  4. 4. Année 2 (on part de 5 462,33 €)

    Les intérêts se calculent sur le capital restant dû, et non sur les 8 000 € de départ. Intérêts : 5 462,33×0,05=273,125\,462{,}33 \times 0{,}05 = 273{,}12 € (arrondi au centime). Amortissement : 2 937,67−273,12=2 664,552\,937{,}67 - 273{,}12 = 2\,664{,}55 €. Capital restant dû en fin d'année : 5 462,33−2 664,55=2 797,785\,462{,}33 - 2\,664{,}55 = 2\,797{,}78 €.

  5. 5. Année 3 (on part de 2 797,78 €)

    Intérêts : 2 797,78×0,05=139,892\,797{,}78 \times 0{,}05 = 139{,}89 € (arrondi au centime). Amortissement : 2 937,67−139,89=2 797,782\,937{,}67 - 139{,}89 = 2\,797{,}78 €. Capital restant dû en fin d'année : 2 797,78−2 797,78=0,002\,797{,}78 - 2\,797{,}78 = 0{,}00 €. Le capital tombe bien à 00 € : le tableau est cohérent.

  6. 6. Calculer le coût total du crédit

    Inès rembourse 3 annuités de 2 937,672\,937{,}67 €, soit 3×2 937,67=8 813,013 \times 2\,937{,}67 = 8\,813{,}01 € au total. Comme elle a emprunté 8 0008\,000 €, le coût du crédit est 8 813,01−8 000=813,018\,813{,}01 - 8\,000 = 813{,}01 €. On retrouve ce montant en additionnant les intérêts des 3 années : 400,00+273,12+139,89=813,01400{,}00 + 273{,}12 + 139{,}89 = 813{,}01 €. L'annuité constante est d'environ 2 937,672\,937{,}67 €, le capital est entièrement remboursé en 3 ans, et le crédit coûte 813,01813{,}01 € d'intérêts à Inès.
Réponse finale
a=8 000×0,051−(1,05)−3≈2 937,67 euros;couˆt du creˊdit=3×2 937,67−8 000=813,01 eurosa = \dfrac{8\,000 \times 0{,}05}{1 - (1{,}05)^{-3}} \approx 2\,937{,}67 \ \text{euros} \quad ; \quad \text{coût du crédit} = 3 \times 2\,937{,}67 - 8\,000 = 813{,}01 \ \text{euros}
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