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Terminale pro

Taux moyen sur trois années de placement

Énoncé

Pour préparer l'achat de son premier scooter, Sami place 2 5002\,500 € sur un compte dont le taux change chaque année : 2 %2\,\% la première année, 6 %6\,\% la deuxième, puis 3 %3\,\% la troisième, en intérêts composés.

1. Calculer le capital obtenu au bout des 3 ans (arrondir au centime).
2. Déterminer le taux annuel moyen, c'est-à-dire le taux unique qui, appliqué pendant 3 ans, donnerait le même capital final (arrondir à 0,01 %0{,}01\,\% près).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Écrire les coefficients de chaque année

    Chaque année, le capital est multiplié par le coefficient 1+t1 + t correspondant : première année 1,021{,}02, deuxième année 1,061{,}06, troisième année 1,031{,}03. En intérêts composés, on multiplie ces coefficients entre eux.

  2. 2. Calculer le capital final

    Le capital final s'obtient en multipliant le capital de départ par le produit des coefficients : C3=2 500×1,02×1,06×1,03.C_3 = 2\,500 \times 1{,}02 \times 1{,}06 \times 1{,}03. On calcule le produit : 1,02×1,06=1,08121{,}02 \times 1{,}06 = 1{,}0812, puis 1,0812×1,03=1,113636.1{,}0812 \times 1{,}03 = 1{,}113636. Donc C3=2 500×1,113636=2 784,09C_3 = 2\,500 \times 1{,}113636 = 2\,784{,}09 € (arrondi au centime).

  3. 3. Poser l'équation du taux moyen

    Le taux moyen tMt_M est le taux qui, appliqué 3 ans de suite, redonne le même produit de coefficients. Il vérifie donc (1+tM)3=1,02×1,06×1,03=1,113636.(1 + t_M)^{3} = 1{,}02 \times 1{,}06 \times 1{,}03 = 1{,}113636. D'après cette égalité, 1+tM1 + t_M est la racine cubique de 1,1136361{,}113636, c'est-à-dire 1+tM=(1,113636)13.1 + t_M = (1{,}113636)^{\frac{1}{3}}.

  4. 4. Calculer le taux moyen

    On calcule (1,113636)13≈1,036528.(1{,}113636)^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}036528. Donc tM≈1,036528−1=0,036528t_M \approx 1{,}036528 - 1 = 0{,}036528, soit tM≈3,65 %t_M \approx 3{,}65\,\% par an. On peut vérifier : 2 500×(1,036528)3≈2 784,092\,500 \times (1{,}036528)^{3} \approx 2\,784{,}09 €, on retrouve bien le capital final. Le placement rapporte 2 784,092\,784{,}09 € au bout de 3 ans, ce qui correspond à un taux annuel moyen d'environ 3,65 %3{,}65\,\%.
Réponse finale
C3=2 500×1,02×1,06×1,03≈2 784,09 euros;tM=(1,113636)13−1≈3,65 %C_3 = 2\,500 \times 1{,}02 \times 1{,}06 \times 1{,}03 \approx 2\,784{,}09 \ \text{euros} \quad ; \quad t_M = (1{,}113636)^{\frac{1}{3}} - 1 \approx 3{,}65\,\%
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