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Rêves Vision
Terminale pro

Le capital de la boutique après 8 ans

Énoncé

La gérante d'une boutique place 2 0002\,000 € sur un compte qui rapporte 5 %5\,\% d'intérêts chaque année. Les intérêts sont eux-mêmes placés (intérêts composés). On note CnC_n le capital au bout de nn années, avec C0=2 000C_0 = 2\,000 €. Calculer le capital C8C_8 disponible au bout de 88 ans, arrondi au centime.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Trouver le coefficient multiplicateur

    Le capital augmente de 5 %5\,\% chaque année. Une hausse de 5 %5\,\% correspond au coefficient multiplicateur q=1+5100=1,05.q = 1 + \dfrac{5}{100} = 1{,}05. Comme q>1q > 1, le capital augmente bien d'année en année.

  2. 2. Écrire le modèle exponentiel

    Le capital suit une suite géométrique de premier terme C0=2 000C_0 = 2\,000 et de raison q=1,05q = 1{,}05. Au bout de nn années, il vaut donc Cn=2 000×1,05n.C_n = 2\,000 \times 1{,}05^{n}.

  3. 3. Remplacer par n égale 8

    On veut le capital après 88 ans, donc n=8n = 8 : C8=2 000×1,058.C_8 = 2\,000 \times 1{,}05^{8}. On calcule d'abord la puissance : 1,058≈1,4775.1{,}05^{8} \approx 1{,}4775.

  4. 4. Calculer et conclure

    On multiplie par le capital de départ : C8≈2 000×1,4775≈2 954,91C_8 \approx 2\,000 \times 1{,}4775 \approx 2\,954{,}91 €. C'est cohérent : en 88 ans le capital a gagné un peu moins de la moitié de sa valeur. Au bout de 8 ans, le capital disponible est d'environ 2 954,912\,954{,}91 €.
Réponse finale
C8=2 000×1,058≈2 954,91 €C_8 = 2\,000 \times 1{,}05^{8} \approx 2\,954{,}91 \ \text{€}
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