Terminale pro · Chapitre 5

Exponentielles et logarithme décimal

Cours de Terminale pro sur les fonctions exponentielles de base q et le logarithme décimal : croissance, intérêts composés, équations et inéquations. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Un capital placé à $5\,\%$ par an, un stock qui fond de $10\,\%$ chaque mois, un chiffre d’affaires qui progresse régulièrement : toutes ces situations partagent la même mécanique, une évolution à pourcentage constant. La fonction exponentielle de base $q$ décrit cette mécanique, et le logarithme décimal permet de répondre à la question reine : « au bout de combien de temps ? ». Ces deux outils prolongent ce que tu connais déjà des suites géométriques.

Ce que tu dois savoir faire

À la fin de ce chapitre, je sais :

reconnaître et utiliser une fonction exponentielle de base $q$ , c’est-à-dire $f(x) = q^x$ ;
calculer une valeur après $n$ périodes avec un modèle du type $1{,}05^n$ et faire le lien avec une suite géométrique ;
représenter une fonction exponentielle décrivant une croissance ou une décroissance ;
résoudre une équation $q^x = k$ et une inéquation $q^x \leqslant k$ grâce au logarithme décimal ;
répondre à un problème d’évolution : durée pour doubler, pour augmenter de $50\,\%$ , pour tomber sous un seuil.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Imagine que tu places $1\,000$ : sur ton livret, sur le compte de ta boutique, peu importe. La banque ajoute un pourcentage chaque année. Au début ça grimpe doucement, puis de plus en plus vite : c’est ça, une croissance exponentielle. La même idée explique pourquoi le prix d’une paire de sneakers en édition limitée s’envole, pourquoi un abonnement streaming qui augmente « juste de quelques pour cent par an » te coûte beaucoup plus cher au bout de dix ans, ou pourquoi un stock mal géré peut fondre étonnamment vite. Savoir manier l’exponentielle et le logarithme, c’est savoir anticiper combien de temps il faut pour doubler une somme ou pour vider un entrepôt.

1. La fonction exponentielle de base $q$

Fonction exponentielle de base q

Soit $q$ un nombre réel strictement positif et différent de $1$ (on écrit $q > 0$ et $q \neq 1$ ).

La fonction exponentielle de base $q$ est la fonction $f$ qui, à tout nombre $x$ , associe : $f(x) = q^x.$

Le nombre $q$ s’appelle la base. La variable $x$ est placée en exposant : c’est ce qui distingue une exponentielle d’une simple puissance comme $x^2$ .

Sens de variation selon la base q

La base $q$ commande tout le comportement de la fonction $f(x) = q^x$ :

si $q > 1$ , la fonction est croissante : c’est une croissance (un capital qui rapporte, des ventes qui augmentent). Exemple : $q = 1{,}05$ pour une hausse de $5\,\%$ .
si $0 < q < 1$ , la fonction est décroissante : c’est une décroissance (un stock qui diminue, une dette qui se rembourse). Exemple : $q = 0{,}9$ pour une baisse de $10\,\%$ .

Dans tous les cas, $q^x$ reste toujours strictement positif : une exponentielle ne vaut jamais $0$ et ne devient jamais négative.

Lire la base comme un pourcentage

Une évolution de $t\,\%$ par période correspond à un coefficient multiplicateur $q$ , et donc à l’exponentielle $q^x$ :

une hausse de $t\,\%$ donne $q = 1 + \dfrac{t}{100}$ . Hausse de $5\,\% \Rightarrow q = 1{,}05$ ; hausse de $20\,\% \Rightarrow q = 1{,}20$ .
une baisse de $t\,\%$ donne $q = 1 - \dfrac{t}{100}$ . Baisse de $10\,\% \Rightarrow q = 0{,}9$ ; baisse de $25\,\% \Rightarrow q = 0{,}75$ .

Retiens le réflexe : $q$ au-dessus de $1$ , ça monte ; $q$ en dessous de $1$ , ça descend.

2. Le lien avec les suites géométriques

Exponentielle et suite géométrique, la même évolution

Une grandeur de valeur de départ $V_0$ qui évolue de $t\,\%$ à chaque période, de coefficient multiplicateur $q$ , vaut après $n$ périodes : $V_n = V_0 \times q^n.$

C’est à la fois :

une suite géométrique de premier terme $V_0$ et de raison $q$ , observée aux rangs entiers $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ ;
une fonction exponentielle $V(x) = V_0 \times q^x$ , qui prolonge cette évolution à tout instant.

Autrement dit : la suite géométrique donne les valeurs année par année, l’exponentielle relie ces points par une courbe continue.

Calculer une valeur après n périodes

On connaît la valeur de départ $V_0$ , le taux d’évolution et le nombre de périodes $n$ .

Déterminer le coefficient multiplicateur $q$ ( $1 + \frac{t}{100}$ pour une hausse, $1 - \frac{t}{100}$ pour une baisse).
Écrire le modèle $V_n = V_0 \times q^n$ .
Remplacer par les valeurs et calculer $q^n$ d’abord, puis multiplier par $V_0$ .
Donner le résultat avec son unité et l’arrondi demandé.

Exemple : un capital de $2\,000$ placé à $5\,\%$ par an. Après $8$ ans : $V_8 = 2\,000 \times 1{,}05^8 \approx 2\,000 \times 1{,}4775 \approx 2\,954{,}91$ €.

3. La fonction logarithme décimal

Pourquoi un nouvel outil ?

Calculer $1{,}05^8$ est facile à la calculatrice. Mais la vraie question d’un commerçant ou d’un gestionnaire est inversée : « combien d’années pour que mon capital double ? ». Là, l’inconnue est l’exposant : on doit résoudre $1{,}05^x = 2$ . Impossible « à la main » : c’est exactement le rôle du logarithme décimal.

Logarithme décimal

Le logarithme décimal d’un nombre strictement positif $a$ , noté $\log(a)$ , est l’exposant qu’il faut donner à $10$ pour obtenir $a$ : $\log(a) = x \quad \text{signifie} \quad 10^{x} = a.$

C’est la touche $\log$ de la calculatrice. Quelques repères : $\log(1) = 0, \qquad \log(10) = 1, \qquad \log(100) = 2, \qquad \log(1000) = 3.$

La propriété qui sert tout le temps

Pour tout nombre $a > 0$ et tout exposant $n$ : $\log(a^{n}) = n \times \log(a).$

C’est la règle clé du chapitre : elle fait descendre l’exposant devant le logarithme. C’est elle qui permet d’« attraper » le $x$ caché dans $q^x$ .

4. Résoudre une équation $q^x = k$

Résoudre une équation du type q puissance x égale k

On cherche l’exposant $x$ tel que $q^x = k$ (avec $q > 0$ , $q \neq 1$ et $k > 0$ ).

Appliquer le logarithme décimal aux deux membres : $\log(q^x) = \log(k)$ .
Faire descendre l’exposant avec la propriété $\log(q^x) = x \times \log(q)$ : on obtient $x \times \log(q) = \log(k)$ .
Isoler $x$ en divisant par $\log(q)$ : $x = \dfrac{\log(k)}{\log(q)}$ .
Calculer à la calculatrice, puis interpréter (souvent en arrondissant l’année au nombre entier supérieur).

Exemple : $1{,}04^x = 1{,}5$ donne $x = \dfrac{\log(1{,}5)}{\log(1{,}04)} \approx \dfrac{0{,}1761}{0{,}0170} \approx 10{,}3$ .

5. Résoudre une inéquation $q^x \leqslant k$

Le sens de l'inégalité dépend de la base

Quand on divise les deux membres d’une inéquation par $\log(q)$ , le signe de $\log(q)$ décide :

si $q > 1$ , alors $\log(q) > 0$ : on divise par un nombre positif, l’inégalité garde son sens ;
si $0 < q < 1$ , alors $\log(q) < 0$ : on divise par un nombre négatif, l’inégalité change de sens.

Comme les décroissances ( $q = 0{,}9$ , $q = 0{,}75$ …) utilisent une base inférieure à $1$ , c’est justement le cas où il faut retourner l’inégalité.

Résoudre une inéquation du type q puissance x inférieur ou égal à k

Appliquer le logarithme décimal aux deux membres : comme $\log$ est croissant, l’inégalité garde d’abord son sens : $\log(q^x) \leqslant \log(k)$ .
Faire descendre l’exposant : $x \times \log(q) \leqslant \log(k)$ .
Diviser par $\log(q)$ en surveillant son signe : si $0 < q < 1$ , on inverse le sens de l’inégalité.
Conclure sur l’ensemble des $x$ , puis interpréter (par exemple le premier nombre entier de mois qui convient).

Exemple : $0{,}9^x \leqslant 0{,}5$ . Ici $\log(0{,}9) < 0$ , donc en divisant on retourne l’inégalité : $x \geqslant \dfrac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}9)} \approx 6{,}58$ .

Les pièges à éviter

Oublier de retourner l’inégalité quand $0 < q < 1$ : FAUX : « $0{,}9^x \leqslant 0{,}5$ donne $x \leqslant \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}9)}$ ». VRAI : comme $\log(0{,}9)$ est négatif, la division inverse le sens : $x \geqslant \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}9)} \approx 6{,}58$ , donc à partir du $7^{\text{e}}$ mois.
Confondre exposant et base : dans $q^x = k$ , l’inconnue est l’exposant. FAUX : « $x = \frac{k}{q}$ ». VRAI : $x = \frac{\log(k)}{\log(q)}$ .
Mal placer le quotient : c’est toujours $\dfrac{\log(\text{le résultat } k)}{\log(\text{la base } q)}$ , et non l’inverse. Vérifie : $\frac{\log(1{,}5)}{\log(1{,}04)} \approx 10{,}3$ est plausible (plusieurs années), alors que $\frac{\log(1{,}04)}{\log(1{,}5)} \approx 0{,}1$ ne le serait pas.
Arrondir trop tôt : garde au moins $4$ décimales pour $\log(q)$ avant de diviser, sinon le résultat final est faussé.
Oublier l’unité ou le sens concret : un exposant de $10{,}3$ « ans » signifie qu’il faut attendre la $11^{\text{e}}$ année complète pour dépasser le seuil.

Exemple complet : durée pour doubler un capital

Un capital est placé à $3\,\%$ par an, de coefficient $q = 1{,}03$ . Au bout de combien d’années aura-t-il doublé ?

On cherche $n$ tel que $1{,}03^n = 2$ .

$\log(1{,}03^n) = \log(2) \;\Rightarrow\; n \times \log(1{,}03) = \log(2) \;\Rightarrow\; n = \frac{\log(2)}{\log(1{,}03)} \approx \frac{0{,}3010}{0{,}0128} \approx 23{,}45.$

Comme les intérêts sont versés par année entière, le capital n’a pas encore doublé à la $23^{\text{e}}$ année ( $1{,}03^{23} \approx 1{,}97$ ) mais l’a dépassé à la $24^{\text{e}}$ ( $1{,}03^{24} \approx 2{,}03$ ). Il faut donc $24$ ans pour que le capital double.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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La décote de la console de jeu

Une console de jeu achetée neuve coûte $400$ €. À la revente d'occasion, sa valeur perd $18\,\%$ chaque année. On note $V_n$ la valeur de revente au bout de $n$ années, avec $V_0 = 400$ €. Calculer la valeur de revente $V_3$ de la console au bout de $3$ ans, arrondie au centime.

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Le capital de la boutique après 8 ans

La gérante d'une boutique place $2\,000$ € sur un compte qui rapporte $5\,\%$ d'intérêts chaque année. Les intérêts sont eux-mêmes placés (intérêts composés). On note $C_n$ le capital au bout de $n$ années, avec $C_0 = 2\,000$ €. Calculer le capital $C_8$ disponible au bout de $8$ ans, arrondi au centime.

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Représenter la montée des ventes du food-truck

La première semaine, un food-truck vend $50$ menus. Le patron observe ensuite une hausse régulière de $20\,\%$ par semaine. On modélise le nombre de menus vendus la semaine $x$ par la fonction exponentielle $f(x) = 50 \times 1{,}2^{x}$ , où $x = 0$ correspond à la première semaine. Compléter un tableau de valeurs de $f$ pour $x$ allant de $0$ à $5$ (arrondi au menu près), puis expliquer comment placer les points pour représenter $f$ .

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Combien d'années pour gagner 50 pour cent

Une somme est placée à $4\,\%$ par an (coefficient $q = 1{,}04$ ). On veut savoir au bout de combien d'années elle aura augmenté de $50\,\%$ , c'est-à-dire sera multipliée par $1{,}5$ . Cela revient à résoudre l'équation $1{,}04^{x} = 1{,}5$ . Résoudre cette équation à l'aide du logarithme décimal, puis interpréter en nombre d'années entières.

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La montée des abonnés du compte TikTok

Un compte TikTok compte $800$ abonnés au moment où son auteur commence à poster régulièrement (semaine $0$ ). Le nombre d'abonnés augmente ensuite de $15\,\%$ chaque semaine. On note $A_n$ le nombre d'abonnés à la fin de la semaine $n$ . 1) Justifier que la suite $(A_n)$ est géométrique et donner son premier terme et sa raison. 2) Exprimer $A_n$ en fonction de $n$ . 3) Calculer le nombre d'abonnés à la fin de la semaine $6$ , arrondi à l'unité.

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Quand le stock passe sous la moitié

Dans un entrepôt, un stock de pièces détachées diminue de $10\,\%$ chaque mois (coefficient $q = 0{,}9$ ). Le responsable veut savoir au bout de combien de mois le stock sera tombé en dessous de la moitié de sa valeur initiale, c'est-à-dire quand il aura été multiplié par un nombre inférieur ou égal à $0{,}5$ . Cela revient à résoudre l'inéquation $0{,}9^{x} \leqslant 0{,}5$ . Résoudre cette inéquation avec le logarithme décimal, puis donner le premier mois entier qui convient.

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Bonus

Le nombre d'années pour doubler la mise

Une entreprise réinvestit chaque année le bénéfice d'un placement de $15\,000$ € qui rapporte $3\,\%$ par an (coefficient $q = 1{,}03$ ). Le dirigeant aimerait que cette somme double. En utilisant le logarithme décimal, déterminer le nombre d'années nécessaires pour que le placement soit multiplié par $2$ , puis vérifier le résultat à la calculatrice.

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Quand le stockage du téléphone sature

Sur un téléphone de $128$ Go, la bibliothèque de photos et de vidéos occupe aujourd'hui $24$ Go. À cause des nouvelles photos et vidéos, cette taille augmente de $6\,\%$ chaque mois (coefficient $q = 1{,}06$ ). Au bout de $x$ mois, la taille occupée est $24 \times 1{,}06^{x}$ Go. On veut savoir à partir de quel mois la bibliothèque dépassera la capacité totale de $128$ Go, c'est-à-dire résoudre l'inéquation $24 \times 1{,}06^{x} > 128$ . Résoudre cette inéquation avec le logarithme décimal, puis donner le premier mois entier où le stockage est dépassé.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une fonction exponentielle de base q ?

C'est une fonction qui à un nombre x associe q puissance x, où q est un nombre strictement positif différent de 1. Elle décrit une évolution à pourcentage constant : par exemple un capital qui augmente de 5 pour cent chaque année est modélisé par 1,05 puissance x. Quand x prend des valeurs entières, on retrouve exactement les termes d'une suite géométrique de raison q.

À quoi sert le logarithme décimal ?

Le logarithme décimal, noté log, sert à retrouver l'exposant inconnu dans une égalité du type q puissance x égale un nombre. Par exemple, pour savoir au bout de combien d'années un capital placé à taux fixe aura doublé, on résout 1,03 puissance n égale 2, et le logarithme décimal donne directement n. C'est l'outil qui résout les équations et les inéquations contenant un exposant.

Quel est le lien entre exponentielle et suite géométrique ?

Une suite géométrique de premier terme positif et de raison q strictement positive se calcule comme un premier terme multiplié par q puissance n. C'est exactement une fonction exponentielle de base q observée seulement aux rangs entiers 0, 1, 2, 3 et ainsi de suite. La suite donne les valeurs année par année, la fonction exponentielle prolonge cette évolution à tout instant.

1. La fonction exponentielle de base qqq

2. Le lien avec les suites géométriques

3. La fonction logarithme décimal

4. Résoudre une équation qx=kq^x = kqx=k

5. Résoudre une inéquation qx⩽kq^x \leqslant kqx⩽k

Exercices corrigés

La décote de la console de jeu

Le capital de la boutique après 8 ans

Représenter la montée des ventes du food-truck

Combien d'années pour gagner 50 pour cent

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