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Terminale pro

Combien d'années pour gagner 50 pour cent

Énoncé

Une somme est placée à 4 %4\,\% par an (coefficient q=1,04q = 1{,}04). On veut savoir au bout de combien d'années elle aura augmenté de 50 %50\,\%, c'est-à-dire sera multipliée par 1,51{,}5. Cela revient à résoudre l'équation 1,04x=1,51{,}04^{x} = 1{,}5. Résoudre cette équation à l'aide du logarithme décimal, puis interpréter en nombre d'années entières.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Augmenter de 50 %50\,\%, c'est multiplier par 1,51{,}5 : la valeur cherchée à atteindre est donc bien 1,51{,}5 fois la somme de départ.
  2. Pour faire descendre l'exposant xx, applique le logarithme décimal aux deux membres : log⁡(1,04x)=x×log⁡(1,04)\log(1{,}04^{x}) = x \times \log(1{,}04).
  3. Tu obtiens x=log⁡(1,5)log⁡(1,04)x = \dfrac{\log(1{,}5)}{\log(1{,}04)}. Vérifie l'ordre de grandeur : le résultat doit être de l'ordre d'une dizaine d'années, pas inférieur à 11.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Poser l'équation

    Augmenter de 50 %50\,\% revient à être multiplié par 1,51{,}5. On cherche donc le nombre d'années xx tel que 1,04x=1,5.1{,}04^{x} = 1{,}5. L'inconnue est l'exposant : on utilise le logarithme décimal.

  2. 2. Appliquer le logarithme décimal

    On applique log⁡\log aux deux membres de l'égalité : log⁡(1,04x)=log⁡(1,5).\log\left(1{,}04^{x}\right) = \log(1{,}5).

  3. 3. Faire descendre l'exposant

    D'après la propriété log⁡(an)=n×log⁡(a)\log(a^{n}) = n \times \log(a), l'exposant descend devant le logarithme : x×log⁡(1,04)=log⁡(1,5).x \times \log(1{,}04) = \log(1{,}5).

  4. 4. Isoler x

    On divise les deux membres par log⁡(1,04)\log(1{,}04), qui est positif (car 1,04>11{,}04 > 1) : x=log⁡(1,5)log⁡(1,04)≈0,17610,0170≈10,34.x = \dfrac{\log(1{,}5)}{\log(1{,}04)} \approx \dfrac{0{,}1761}{0{,}0170} \approx 10{,}34.

  5. 5. Interpréter en années entières

    Les intérêts sont versés par année complète. À la 10e10^{\text{e}} année, 1,0410≈1,481{,}04^{10} \approx 1{,}48 : la somme n'a pas encore été multipliée par 1,51{,}5. À la 11e11^{\text{e}} année, 1,0411≈1,541{,}04^{11} \approx 1{,}54 : le seuil est dépassé. Il faut donc 1111 ans pour que la somme augmente d'au moins 50 %50\,\%.
Réponse finale
x=log⁡(1,5)log⁡(1,04)≈10,34, soit 11 ansx = \dfrac{\log(1{,}5)}{\log(1{,}04)} \approx 10{,}34, \ \text{soit } 11 \text{ ans}
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