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Le nombre d'années pour doubler la mise

Énoncé

Une entreprise réinvestit chaque année le bénéfice d'un placement de 15 00015\,000 € qui rapporte 3 %3\,\% par an (coefficient q=1,03q = 1{,}03). Le dirigeant aimerait que cette somme double. En utilisant le logarithme décimal, déterminer le nombre d'années nécessaires pour que le placement soit multiplié par 22, puis vérifier le résultat à la calculatrice.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le montant de départ (15 00015\,000 €) n'intervient pas dans la durée : doubler revient à ce que le coefficient global 1,03n1{,}03^{n} atteigne 22.
  2. Pose l'équation 1,03n=21{,}03^{n} = 2, puis applique le logarithme décimal aux deux membres pour faire descendre l'exposant nn.
  3. Tu arrives à n=log⁡(2)log⁡(1,03)n = \dfrac{\log(2)}{\log(1{,}03)}. Comme le résultat n'est pas entier, encadre-le entre deux entiers et teste-les avec 1,03n1{,}03^{n} pour choisir le bon.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Comprendre que le montant n'importe pas

    Au bout de nn années, le placement vaut 15 000×1,03n15\,000 \times 1{,}03^{n}. Vouloir qu'il double, c'est vouloir 15 000×1,03n=2×15 000.15\,000 \times 1{,}03^{n} = 2 \times 15\,000. En divisant les deux membres par 15 00015\,000, la valeur de départ disparaît : il reste 1,03n=2.1{,}03^{n} = 2.

  2. 2. Appliquer le logarithme décimal

    L'inconnue nn est en exposant : on applique log⁡\log aux deux membres. log⁡(1,03n)=log⁡(2).\log\left(1{,}03^{n}\right) = \log(2).

  3. 3. Faire descendre l'exposant

    D'après la propriété log⁡(an)=n×log⁡(a)\log(a^{n}) = n \times \log(a), on obtient n×log⁡(1,03)=log⁡(2).n \times \log(1{,}03) = \log(2).

  4. 4. Isoler n

    On divise par log⁡(1,03)\log(1{,}03), positif car 1,03>11{,}03 > 1 : n=log⁡(2)log⁡(1,03)≈0,30100,0128≈23,45.n = \dfrac{\log(2)}{\log(1{,}03)} \approx \dfrac{0{,}3010}{0{,}0128} \approx 23{,}45.

  5. 5. Encadrer et vérifier à la calculatrice

    Comme 23,4523{,}45 n'est pas entier et que les intérêts tombent par année complète, on teste les deux entiers voisins. 1,0323≈1,9741{,}03^{23} \approx 1{,}974 : le placement n'a pas encore doublé. 1,0324≈2,0331{,}03^{24} \approx 2{,}033 : il a dépassé le double. Il faut donc 2424 ans pour que le placement double. On retrouve la « règle » connue des financiers : à 3 %3\,\% par an, un capital double en un peu plus de 2323 ans.
Réponse finale
n=log⁡(2)log⁡(1,03)≈23,45, soit 24 ansn = \dfrac{\log(2)}{\log(1{,}03)} \approx 23{,}45, \ \text{soit } 24 \text{ ans}
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