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Terminale pro

Optimiser le bénéfice d'une chaîne de streaming

Énoncé

Une chaîne de streaming gagne de l'argent grâce aux abonnements, mais paie aussi du matériel et de la bande passante qui coûtent de plus en plus cher quand l'audience grossit. Quand la chaîne compte xx centaines d'abonnés (avec xx compris entre 00 et 1010), son bénéfice mensuel, en dizaines d'euros, est modélisé par B(x)=−2x3+30x2−96xB(x) = -2x^3 + 30x^2 - 96x. Dresser le tableau de variations de BB sur [0 ; 10][0\,;\,10], déterminer le nombre d'abonnés qui rend le bénéfice maximal, puis indiquer à partir de combien d'abonnés la chaîne devient rentable.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence comme d'habitude : dérive BB terme par terme (la dérivée de −2x3-2x^3 est −6x2-6x^2), puis mets −6-6 en facteur dans B′(x)B'(x).
  2. Pour factoriser x2−10x+16x^2 - 10x + 16, cherche deux nombres dont la somme vaut 1010 et le produit vaut 1616. Le coefficient −6-6 étant négatif, la dérivée est positive entre les racines : c'est là que le bénéfice augmente.
  3. Un « seuil de rentabilité » est une valeur de xx où B(x)B(x) passe de négatif à positif. Sers-toi des valeurs du tableau : repère deux entiers consécutifs entre lesquels BB change de signe (compare par exemple B(4)B(4) et B(5)B(5)).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer la dérivée

    On dérive B(x)=−2x3+30x2−96xB(x) = -2x^3 + 30x^2 - 96x terme par terme : la dérivée de −2x3-2x^3 est −2×3x2=−6x2-2 \times 3x^2 = -6x^2, celle de 30x230x^2 est 30×2x=60x30 \times 2x = 60x, et celle de −96x-96x est −96-96. Donc B′(x)=−6x2+60x−96B'(x) = -6x^2 + 60x - 96.

  2. 2. Factoriser la dérivée

    On met −6-6 en facteur : B′(x)=−6(x2−10x+16)B'(x) = -6\left(x^2 - 10x + 16\right). On cherche deux nombres dont la somme vaut 1010 et le produit vaut 1616 : ce sont 22 et 88 (car 2+8=102 + 8 = 10 et 2×8=162 \times 8 = 16). Donc B′(x)=−6(x−2)(x−8)B'(x) = -6(x - 2)(x - 8). Les racines de B′B' sont x=2x = 2 et x=8x = 8.

  3. 3. Étudier le signe de la dérivée

    Le coefficient dominant est −6-6, qui est négatif : le trinôme est donc négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles. Sur [0 ; 10][0\,;\,10] : B′(x)<0B'(x) < 0 sur [0 ; 2[[0\,;\,2[, B′(x)>0B'(x) > 0 sur ]2 ; 8[]2\,;\,8[, puis B′(x)<0B'(x) < 0 sur ]8 ; 10]]8\,;\,10]. Donc BB décroît là où B′<0B' < 0 et croît là où B′>0B' > 0.

  4. 4. Calculer les valeurs clés

    On calcule BB aux bornes, aux racines de B′B', et à deux entiers intermédiaires pour suivre le signe. B(0)=0B(0) = 0. B(2)=−2×23+30×22−96×2=−16+120−192=−88B(2) = -2 \times 2^3 + 30 \times 2^2 - 96 \times 2 = -16 + 120 - 192 = -88. B(4)=−2×43+30×42−96×4=−128+480−384=−32B(4) = -2 \times 4^3 + 30 \times 4^2 - 96 \times 4 = -128 + 480 - 384 = -32. B(5)=−2×53+30×52−96×5=−250+750−480=20B(5) = -2 \times 5^3 + 30 \times 5^2 - 96 \times 5 = -250 + 750 - 480 = 20. B(8)=−2×83+30×82−96×8=−1024+1920−768=128B(8) = -2 \times 8^3 + 30 \times 8^2 - 96 \times 8 = -1024 + 1920 - 768 = 128. B(10)=−2×103+30×102−96×10=−2000+3000−960=40B(10) = -2 \times 10^3 + 30 \times 10^2 - 96 \times 10 = -2000 + 3000 - 960 = 40.

  5. 5. Dresser le tableau de variations

    On reporte le signe de B′B' et les valeurs de BB. Sur [0 ; 2][0\,;\,2] la fonction décroît de 00 à −88-88 ; sur [2 ; 8][2\,;\,8] elle croît de −88-88 à 128128 ; sur [8 ; 10][8\,;\,10] elle décroît de 128128 à 4040. La dérivée passe de −- à ++ en x=2x = 2, donc BB présente un minimum local en x=2x = 2 (où B=−88B = -88) ; elle passe de ++ à −- en x=8x = 8, donc BB présente un maximum local en x=8x = 8 (où B=128B = 128).

  6. 6. Déterminer le bénéfice maximal

    Le sommet du tableau, c'est-à-dire l'endroit où BB passe de croissante à décroissante, est atteint en x=8x = 8. Le bénéfice y vaut B(8)=128B(8) = 128 dizaines d'euros, soit 1 2801\,280 €. Comme x=8x = 8 correspond à 88 centaines d'abonnés, le bénéfice est maximal pour 800800 abonnés, où il atteint 1 2801\,280 € par mois.

  7. 7. Trouver le seuil de rentabilité

    La chaîne est rentable lorsque B(x)>0B(x) > 0. Au départ, le bénéfice est négatif (frais fixes non couverts) : B(0)=0B(0) = 0 puis BB descend jusqu'à −88-88 avant de remonter. Sur la partie croissante [2 ; 8][2\,;\,8], on a B(4)=−32B(4) = -32 (négatif) et B(5)=20B(5) = 20 (positif) : le bénéfice change de signe entre x=4x = 4 et x=5x = 5. La chaîne devient donc rentable à partir d'environ 4,54{,}5 centaines d'abonnés, soit environ 450450 abonnés. Ensuite, sur [8 ; 10][8\,;\,10], BB redescend mais reste positif (B(10)=40>0B(10) = 40 > 0) : la chaîne reste rentable jusqu'à 1 0001\,000 abonnés. Le bénéfice est maximal (1 2801\,280 €) pour 800800 abonnés, et la chaîne devient rentable à partir d'environ 450450 abonnés.
Réponse finale
B deˊcroıˆt sur [0 ; 2], croıˆt sur [2 ; 8], deˊcroıˆt sur [8 ; 10]  ;  maximum local B(8)=128 (soit 1280 € pour 800 abonneˊs)  ;  rentable aˋ partir d’environ 450 abonneˊsB \text{ décroît sur } [0\,;\,2]\text{, croît sur } [2\,;\,8]\text{, décroît sur } [8\,;\,10] \;;\; \text{maximum local } B(8) = 128 \text{ (soit } 1280 \,\text{€ pour } 800 \text{ abonnés)} \;;\; \text{rentable à partir d'environ } 450 \text{ abonnés}
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