Terminale pro · Chapitre 4

Fonctions polynômes de degré 3

Cours de Terminale pro sur les fonctions polynômes de degré 3 et la fonction cube : dériver, étudier le signe de la dérivée, dresser le tableau de variations, trouver les extremums.

8 exercices corrigés · Terminale professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Quelle quantité produire pour gagner le plus d’argent ? À partir de combien d’articles vendus un atelier devient-il rentable ? Beaucoup de modèles économiques se décrivent par une fonction polynôme de degré 3. Pour les exploiter, on calcule leur dérivée, on étudie son signe, puis on dresse un tableau de variations qui révèle les sommets et les creux de la courbe : les fameux extremums.

Ce que tu sauras faire

Je sais reconnaître la fonction cube et une fonction polynôme de degré 3.
Je sais dériver un polynôme de degré au plus 3, terme par terme.
Je sais étudier le signe d’une dérivée factorisée (du second degré).
Je sais dresser le tableau de variations d’une fonction de degré 3.
Je sais repérer un maximum ou un minimum local et l’interpréter dans un contexte métier.

À quoi ça sert dans ton futur métier ?

Tu gères la production d’un atelier, d’un food-truck ou d’une petite boutique. Ton bénéfice dépend du nombre d’articles que tu fabriques : trop peu, tu ne couvres pas tes frais ; trop, et le coût grimpe plus vite que les ventes. Entre les deux, il existe un niveau de production idéal. Le tableau de variations d’une fonction de degré 3 te permet de trouver ce point optimal au lieu de tâtonner. C’est exactement ce que fait un tableur de gestion quand il cherche le meilleur scénario.

La fonction cube

La fonction cube est la fonction définie pour tout nombre $x$ par : $f(x) = x^3.$

C’est le bloc de base des polynômes de degré 3. Elle est croissante sur tout son ensemble de définition : plus $x$ augmente, plus $x^3$ augmente. Par exemple $2^3 = 8$ et $3^3 = 27$ .

Fonction polynôme de degré 3

Une fonction polynôme de degré 3 s’écrit, pour tout $x$ : $f(x) = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x + d,$ où $a$ , $b$ , $c$ et $d$ sont des nombres fixés, avec $a \neq 0$ (le coefficient devant $x^3$ ne doit pas être nul, sinon le degré serait plus petit).

Par exemple, $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ est un polynôme de degré 3 (ici $a = 1$ , $b = -6$ , $c = 9$ et $d = 0$ ).

Dériver terme par terme

Pour dériver un polynôme de degré au plus 3, on dérive chaque terme séparément, en appliquant les règles suivantes :

$\big(a\,x^3\big)' = 3a\,x^2 \qquad \big(a\,x^2\big)' = 2a\,x \qquad \big(a\,x\big)' = a \qquad \big(d\big)' = 0$

Autrement dit : on multiplie par l’exposant, puis on diminue l’exposant de 1. La dérivée d’un nombre seul (le terme constant) est toujours nulle.

Calculer une dérivée

Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ . On dérive terme par terme :

la dérivée de $x^3$ est $3x^2$ ;
la dérivée de $-6x^2$ est $-6 \times 2x = -12x$ ;
la dérivée de $9x$ est $9$ .

On obtient donc : $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9.$

Le lien entre le signe de la dérivée et les variations

La dérivée $f'$ indique le sens de variation de $f$ :

là où $f'(x) > 0$ , la fonction $f$ est croissante (la courbe monte) ;
là où $f'(x) < 0$ , la fonction $f$ est décroissante (la courbe descend) ;
là où $f'(x) = 0$ en changeant de signe, la fonction présente un extremum local (un sommet ou un creux).

Pour un polynôme de degré 3, la dérivée est du second degré : son signe est donc gouverné par ses racines.

Étudier le signe d'une dérivée factorisée

La dérivée d’un polynôme de degré 3 est un trinôme du second degré, souvent donné factorisé sous la forme $f'(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ .

Repérer les deux racines $x_1$ et $x_2$ (les valeurs qui annulent chaque facteur).
Les placer dans l’ordre croissant sur une droite, ce qui découpe trois zones.
Déterminer le signe :
- si $a > 0$ , le trinôme est positif à l’extérieur des racines, négatif entre elles ;
- si $a < 0$ , c’est l’inverse : négatif à l’extérieur, positif entre les racines.

Exemple : $f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)$ . Les racines sont $1$ et $3$ , et $a = 3 > 0$ : $f'$ est positive sur $]-\infty\,;\,1[$ , négative sur $]1\,;\,3[$ , positive sur $]3\,;\,+\infty[$ .

Extremum local : maximum et minimum

Un extremum local est une valeur où la fonction change de sens de variation :

un maximum local quand $f$ passe de croissante à décroissante (un sommet : la dérivée passe de $+$ à $-$ ) ;
un minimum local quand $f$ passe de décroissante à croissante (un creux : la dérivée passe de $-$ à $+$ ).

Le mot « local » signifie « dans le voisinage » : c’est le plus haut (ou le plus bas) par rapport aux points voisins, pas forcément sur tout le domaine.

Dresser le tableau de variations

Pour dresser le tableau de variations d’une fonction polynôme de degré 3 sur un intervalle :

Calculer la dérivée $f'(x)$ terme par terme.
Factoriser $f'(x)$ (ou utiliser sa forme déjà factorisée) et trouver ses racines.
Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle (ligne du signe de $f'$ ).
En déduire les variations de $f$ (flèche montante quand $f' > 0$ , flèche descendante quand $f' < 0$ ).
Calculer les valeurs de $f$ aux bornes et aux racines de $f'$ , et les inscrire au bout des flèches.
Identifier les extremums : sommet (maximum) ou creux (minimum).

Un tableau de variations complet

Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ étudiée sur l’intervalle $[0\,;\,4]$ .

On a $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$ , donc $f'$ s’annule en $1$ et en $3$ . Avec $a = 3 > 0$ , $f'$ est positive à l’extérieur de $[1\,;\,3]$ et négative entre.

On calcule : $f(0) = 0$ , $f(1) = 1 - 6 + 9 = 4$ , $f(3) = 27 - 54 + 27 = 0$ et $f(4) = 64 - 96 + 36 = 4$ .

$x$	$0$		$1$		$3$		$4$
signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
variations de $f$	$0$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$4$

La fonction présente un maximum local en $x = 1$ (où $f = 4$ ) et un minimum local en $x = 3$ (où $f = 0$ ).

Les pièges à éviter

Se tromper en dérivant le terme en $x^3$ . ~~La dérivée de $x^3$ est $x^2$ .~~ C’est FAUX : on multiplie par l’exposant. Le VRAI résultat est $\big(x^3\big)' = 3x^2$ .
Oublier que la dérivée d’un nombre est nulle. ~~La dérivée de $f(x) = x^3 - 18$ est $3x^2 - 18$ .~~ FAUX : la dérivée de la constante $-18$ vaut $0$ . Le VRAI résultat est $f'(x) = 3x^2$ .
Confondre maximum et minimum. Quand la dérivée passe de $+$ à $-$ , c’est un maximum (la courbe monte puis descend). Quand elle passe de $-$ à $+$ , c’est un minimum.
Lire l’extremum sur le signe au lieu de la valeur. Le tableau dit où se trouve l’extremum (l’abscisse $x$ ), mais sa valeur est $f(x)$ , qu’il faut calculer en remplaçant dans la fonction de départ.

Le mémo de la dérivation

Une seule règle à retenir pour chaque terme : « je descends l’exposant devant, puis je l’abaisse de 1 ». Ainsi $x^3$ donne $3x^2$ , et $x^2$ donne $2x$ . Et pour les variations : dérivée positive, la courbe monte ; dérivée négative, la courbe descend.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer la dérivée d'un polynôme de degré 3

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre $x$ par $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ . Calculer sa dérivée $f'(x)$ .

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Dériver et évaluer un coût de stockage

Le coût mensuel d'un service de stockage en ligne, en euros, dépend du nombre $x$ de centaines de gigaoctets utilisés : $C(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 5$ . Calculer la dérivée $C'(x)$ , puis calculer $C'(1)$ .

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Dresser le tableau de signes d'une dérivée factorisée

La dérivée d'une fonction polynôme de degré 3 est donnée sous forme factorisée : $f'(x) = 3(x - 2)(x - 5)$ . Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ .

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Étudier les variations d'un bénéfice

Une boutique vend des paires de sneakers en édition limitée. Lorsqu'elle en met $x$ centaines en vente (avec $x$ compris entre $0$ et $8$ ), son bénéfice, en centaines d'euros, est modélisé par $B(x) = -x^3 + 12x^2 - 21x$ . Étudier les variations de $B$ sur $[0\,;\,8]$ et dresser son tableau de variations.

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Les variations de la recette d'un objet Roblox

Un créateur vend un objet cosmétique dans son jeu Roblox. Lorsqu'il en vend $x$ centaines en une journée (avec $x$ compris entre $0$ et $6$ ), sa recette nette, en dizaines de robux, est modélisée par $R(x) = x^3 - 9x^2 + 24x$ . Étudier les variations de $R$ sur $[0\,;\,6]$ et dresser son tableau de variations.

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Trouver la production qui maximise le bénéfice

Un atelier fabrique des bougies parfumées. Quand il en produit $x$ centaines (avec $x$ compris entre $0$ et $8$ ), son bénéfice journalier, en dizaines d'euros, est donné par $B(x) = -x^3 + 12x^2 - 21x$ . Déterminer le nombre de bougies à produire pour que le bénéfice soit maximal, et calculer ce bénéfice.

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Les seuils de rentabilité d'un food-truck

Un food-truck propose des burgers maison. Quand il en prépare $x$ centaines sur la semaine (avec $x$ compris entre $0$ et $10$ ), son bénéfice hebdomadaire, en centaines d'euros, est modélisé par $B(x) = -x^3 + 12x^2 - 21x - 18$ . On admet que $B(3) = 0$ . À l'aide du tableau de variations, déterminer le seuil de rentabilité (le nombre de burgers à partir duquel l'activité devient bénéficiaire) et le nombre de burgers à partir duquel une surproduction fait repasser le bénéfice dans le négatif.

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Optimiser le bénéfice d'une chaîne de streaming

Une chaîne de streaming gagne de l'argent grâce aux abonnements, mais paie aussi du matériel et de la bande passante qui coûtent de plus en plus cher quand l'audience grossit. Quand la chaîne compte $x$ centaines d'abonnés (avec $x$ compris entre $0$ et $10$ ), son bénéfice mensuel, en dizaines d'euros, est modélisé par $B(x) = -2x^3 + 30x^2 - 96x$ . Dresser le tableau de variations de $B$ sur $[0\,;\,10]$ , déterminer le nombre d'abonnés qui rend le bénéfice maximal, puis indiquer à partir de combien d'abonnés la chaîne devient rentable.

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Questions fréquentes

Comment dériver une fonction polynôme de degré 3 ?

On dérive terme par terme. Pour un terme du type a fois x au cube, la dérivée est 3 fois a fois x au carré ; pour a fois x au carré, c'est 2 fois a fois x ; pour a fois x, c'est a ; et la dérivée d'un nombre seul est nulle. Par exemple, la dérivée de x au cube moins 6 fois x au carré plus 9 fois x est 3 fois x au carré moins 12 fois x plus 9.

À quoi sert le tableau de variations d'une fonction de degré 3 ?

Le tableau de variations résume si la fonction monte ou descend sur chaque intervalle, à partir du signe de sa dérivée. Il met en évidence les extremums, c'est-à-dire les sommets et les creux de la courbe. En contexte métier, le maximum d'une fonction de bénéfice indique le niveau de production le plus rentable.

Qu'est-ce qu'un extremum local ?

Un extremum local est une valeur où la fonction change de sens de variation. C'est un maximum local quand la fonction passe de croissante à décroissante, et un minimum local quand elle passe de décroissante à croissante. Sur le tableau de variations, il se repère là où la dérivée s'annule en changeant de signe.