Dresser le tableau de signes d'une dérivée factorisée

La dérivée est un produit qui s'annule lorsqu'un de ses facteurs est nul. Le facteur $(x - 2)$ s'annule pour $x = 2$, et le facteur $(x - 5)$ s'annule pour $x = 5$. Les deux racines sont donc $x = 2$ et $x = 5$.

Le coefficient devant le produit est $3$, qui est positif. Pour un trinôme du second degré dont le coefficient dominant est positif, le signe est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.

On teste $x = 0$ (qui est à gauche des deux racines) : $f'(0) = 3 \times (0 - 2) \times (0 - 5) = 3 \times (-2) \times (-5) = 30$, qui est positif. Cela confirme que $f'$ est positive à l'extérieur de l'intervalle $[2\,;\,5]$.

On obtient : $f'(x) > 0$ sur $]-\infty\,;\,2[$, puis $f'(x) < 0$ sur $]2\,;\,5[$, puis $f'(x) > 0$ sur $]5\,;\,+\infty[$. La dérivée s'annule en $x = 2$ et en $x = 5$. Dans le tableau, la ligne du signe de $f'(x)$ affiche : $+\;\;0\;\;-\;\;0\;\;+$. En résumé, $f'(x)$ est positive à l'extérieur de l'intervalle $[2\,;\,5]$ et négative entre $2$ et $5$.