Terminale pro
Trouver la production qui maximise le bénéfice
Énoncé
Un atelier fabrique des bougies parfumées. Quand il en produit centaines (avec compris entre et ), son bénéfice journalier, en dizaines d'euros, est donné par . Déterminer le nombre de bougies à produire pour que le bénéfice soit maximal, et calculer ce bénéfice.
Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.
Voir le corrigé détaillé
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1. Comprendre la question
On cherche le maximum du bénéfice : sur le tableau de variations, c'est le sommet, c'est-à-dire l'endroit où passe de croissante à décroissante. Il faut donc d'abord dériver , puis repérer où la dérivée s'annule en changeant de signe de vers . -
2. Dériver et factoriser
On dérive : . On factorise en mettant en facteur : . Les racines sont et . -
3. Étudier le signe pour repérer le maximum
Le coefficient dominant est négatif, donc est positif entre les racines et négatif à l'extérieur. Sur la dérivée est positive (le bénéfice augmente), puis sur elle devient négative (le bénéfice diminue). La dérivée passe de à en : c'est donc un maximum local. -
4. Calculer le bénéfice maximal
On remplace par dans la fonction de départ : . Le bénéfice maximal vaut donc dizaines d'euros, soit €. -
5. Conclure en revenant au contexte
La valeur correspond à centaines de bougies, soit bougies. C'est le niveau de production le plus rentable. Pour un bénéfice maximal de €, l'atelier doit produire bougies par jour.
Réponse finale
Ta progression