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Terminale pro

Les variations de la recette d'un objet Roblox

Énoncé

Un créateur vend un objet cosmétique dans son jeu Roblox. Lorsqu'il en vend xx centaines en une journée (avec xx compris entre 00 et 66), sa recette nette, en dizaines de robux, est modélisée par R(x)=x3−9x2+24xR(x) = x^3 - 9x^2 + 24x. Étudier les variations de RR sur [0 ; 6][0\,;\,6] et dresser son tableau de variations.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour dériver, applique la règle terme par terme : la dérivée de x3x^3 est 3x23x^2 et celle de −9x2-9x^2 est −18x-18x.
  2. Mets 33 en facteur dans R′(x)R'(x), puis cherche deux nombres dont la somme vaut 66 et le produit vaut 88.
  3. Comme le coefficient devant le produit est positif, la dérivée est négative entre les racines 22 et 44 : c'est là que la recette diminue.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la dérivée

    On dérive R(x)=x3−9x2+24xR(x) = x^3 - 9x^2 + 24x terme par terme : la dérivée de x3x^3 est 3x23x^2, celle de −9x2-9x^2 est −9×2x=−18x-9 \times 2x = -18x, et celle de 24x24x est 2424. Donc R′(x)=3x2−18x+24R'(x) = 3x^2 - 18x + 24.

  2. 2. Factoriser la dérivée

    On met 33 en facteur : R′(x)=3(x2−6x+8)R'(x) = 3\left(x^2 - 6x + 8\right). On cherche deux nombres dont la somme vaut 66 et le produit vaut 88 : ce sont 22 et 44 (car 2+4=62 + 4 = 6 et 2×4=82 \times 4 = 8). Donc R′(x)=3(x−2)(x−4)R'(x) = 3(x - 2)(x - 4). Les racines de R′R' sont x=2x = 2 et x=4x = 4.

  3. 3. Étudier le signe de la dérivée

    Le coefficient dominant est 33, qui est positif : le trinôme est donc positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Sur [0 ; 6][0\,;\,6] : R′(x)>0R'(x) > 0 sur [0 ; 2[[0\,;\,2[, R′(x)<0R'(x) < 0 sur ]2 ; 4[]2\,;\,4[, puis R′(x)>0R'(x) > 0 sur ]4 ; 6]]4\,;\,6]. D'après le lien entre le signe de la dérivée et les variations, RR croît là où R′>0R' > 0 et décroît là où R′<0R' < 0.

  4. 4. Calculer les valeurs aux bornes et aux racines

    On calcule RR aux points utiles. R(0)=0R(0) = 0. R(2)=23−9×22+24×2=8−36+48=20R(2) = 2^3 - 9 \times 2^2 + 24 \times 2 = 8 - 36 + 48 = 20. R(4)=43−9×42+24×4=64−144+96=16R(4) = 4^3 - 9 \times 4^2 + 24 \times 4 = 64 - 144 + 96 = 16. R(6)=63−9×62+24×6=216−324+144=36R(6) = 6^3 - 9 \times 6^2 + 24 \times 6 = 216 - 324 + 144 = 36.

  5. 5. Dresser le tableau de variations

    On reporte le signe de R′R' et les valeurs de RR. Sur [0 ; 2][0\,;\,2] la fonction croît de 00 à 2020 ; sur [2 ; 4][2\,;\,4] elle décroît de 2020 à 1616 ; sur [4 ; 6][4\,;\,6] elle croît de 1616 à 3636. La dérivée passe de ++ à −- en x=2x = 2, donc RR présente un maximum local en x=2x = 2 (où R=20R = 20) ; elle passe de −- à ++ en x=4x = 4, donc RR présente un minimum local en x=4x = 4 (où R=16R = 16). Sur [0 ; 6][0\,;\,6], RR croît sur [0 ; 2][0\,;\,2], décroît sur [2 ; 4][2\,;\,4] puis croît sur [4 ; 6][4\,;\,6], avec un maximum local R(2)=20R(2) = 20 et un minimum local R(4)=16R(4) = 16.
Réponse finale
R croıˆt sur [0 ; 2], deˊcroıˆt sur [2 ; 4], croıˆt sur [4 ; 6]  ;  maximum local R(2)=20 et minimum local R(4)=16R \text{ croît sur } [0\,;\,2]\text{, décroît sur } [2\,;\,4]\text{, croît sur } [4\,;\,6] \;;\; \text{maximum local } R(2) = 20 \text{ et minimum local } R(4) = 16
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