Terminale pro
Étudier les variations d'un bénéfice
Énoncé
Une boutique vend des paires de sneakers en édition limitée. Lorsqu'elle en met centaines en vente (avec compris entre et ), son bénéfice, en centaines d'euros, est modélisé par . Étudier les variations de sur et dresser son tableau de variations.
Besoin d'un coup de pouce ?
- Pour dériver, applique la règle terme par terme : la dérivée de est , celle de est .
- Mets en facteur dans , puis cherche deux nombres dont la somme vaut et le produit vaut .
- Comme le coefficient devant le produit est négatif, la dérivée est positive entre les racines et : c'est là que le bénéfice augmente.
Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.
Voir le corrigé détaillé
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1. Calculer la dérivée
On dérive terme par terme : la dérivée de est , celle de est , celle de est . Donc . -
2. Factoriser la dérivée
On met en facteur : . Le trinôme se factorise en (car et ). Ainsi . -
3. Étudier le signe de la dérivée
Les racines de sont et . Le coefficient dominant est , qui est négatif : le trinôme est donc négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles. Sur : sur , sur , sur . -
4. Calculer les valeurs aux bornes et aux racines
On calcule aux points utiles. . . . . -
5. Dresser le tableau de variations
On reporte le signe de et les valeurs de . Sur la fonction décroît de à ; sur elle croît de à ; sur elle décroît de à . La fonction présente un minimum local en (où ) et un maximum local en (où ).
Réponse finale
Ta progression