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Terminale pro

Cartes mémoire défectueuses : origine la plus probable

Énoncé

Un atelier de réparation reçoit des cartes mémoire de 256256 Go de deux usines. L'usine X fournit 40 %40\,\% des cartes (événement XX) et l'usine Y fournit le reste (événement YY). Parmi les cartes de l'usine X, 5 %5\,\% sont défectueuses (événement DD) ; parmi celles de l'usine Y, 2 %2\,\% sont défectueuses. On prélève une carte au hasard dans le stock. 1) Calculer la probabilité P(D)P(D) qu'une carte soit défectueuse. 2) Sachant qu'une carte est défectueuse, calculer la probabilité PD(Y)P_D(Y) qu'elle provienne de l'usine Y. Donner la valeur exacte sous forme de fraction irréductible.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Construis d'abord l'arbre : niveau 1 les deux usines X et Y, niveau 2 défectueuse ou non pour chacune.
  2. Pour P(D)P(D), additionne les deux chemins défectueux : P(X)×PX(D)P(X) \times P_X(D) et P(Y)×PY(D)P(Y) \times P_Y(D).
  3. Pour la question 2, c'est un retour vers la cause : PD(Y)=P(Y∩D)P(D)P_D(Y) = \dfrac{P(Y \cap D)}{P(D)}, où P(Y∩D)P(Y \cap D) est le chemin Y puis défectueuse déjà calculé.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Mettre en place l'arbre

    Premier niveau : P(X)=0,40P(X) = 0{,}40 et, comme une carte vient soit de X soit de Y, P(Y)=1−0,40=0,60.P(Y) = 1 - 0{,}40 = 0{,}60. Deuxième niveau, les taux de défaut sont des probabilités conditionnelles : PX(D)=0,05P_X(D) = 0{,}05 depuis XX, et PY(D)=0,02P_Y(D) = 0{,}02 depuis YY. À chaque nœud, la somme des branches vaut 11.

  2. 2. Probabilité de chaque chemin défectueux

    Une carte défectueuse vient soit de X, soit de Y. On multiplie le long de chaque chemin : P(X∩D)=P(X)×PX(D)=0,40×0,05=0,020P(X \cap D) = P(X) \times P_X(D) = 0{,}40 \times 0{,}05 = 0{,}020 et P(Y∩D)=P(Y)×PY(D)=0,60×0,02=0,012.P(Y \cap D) = P(Y) \times P_Y(D) = 0{,}60 \times 0{,}02 = 0{,}012.

  3. 3. Probabilités totales : P(D)

    D'après la formule des probabilités totales, on additionne les deux chemins menant à une carte défectueuse : P(D)=P(X∩D)+P(Y∩D)=0,020+0,012=0,032.P(D) = P(X \cap D) + P(Y \cap D) = 0{,}020 + 0{,}012 = 0{,}032. La probabilité qu'une carte soit défectueuse est 0,0320{,}032, soit 3,2 %3{,}2\,\%.

  4. 4. Revenir vers la cause : la probabilité conditionnelle

    On cherche maintenant la probabilité que la carte vienne de Y sachant qu'elle est défectueuse. D'après la formule, PD(Y)=P(Y∩D)P(D).P_D(Y) = \dfrac{P(Y \cap D)}{P(D)}. On remplace par les valeurs déjà calculées : PD(Y)=0,0120,032.P_D(Y) = \dfrac{0{,}012}{0{,}032}.

  5. 5. Simplifier la fraction

    On multiplie le numérateur et le dénominateur par 10001000 pour retirer les virgules : 0,0120,032=1232.\dfrac{0{,}012}{0{,}032} = \dfrac{12}{32}. On divise ensuite le haut et le bas par 44 : 1232=38=0,375.\dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375. Sachant que la carte est défectueuse, la probabilité qu'elle vienne de l'usine Y est 38\dfrac{3}{8}, soit 0,3750{,}375 ou 37,5 %37{,}5\,\%. Bien que l'usine Y fournisse 60 %60\,\% des cartes, son faible taux de défaut fait que moins de la moitié des cartes défectueuses viennent d'elle : l'ordre de grandeur est cohérent.
Réponse finale
P(D)=0,40×0,05+0,60×0,02=0,032etPD(Y)=0,0120,032=38=0,375P(D) = 0{,}40 \times 0{,}05 + 0{,}60 \times 0{,}02 = 0{,}032 \quad \text{et} \quad P_D(Y) = \dfrac{0{,}012}{0{,}032} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375
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