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Rêves Vision
Terminale pro

Construire un arbre pondéré pour une boutique

Énoncé

Dans une boutique de sneakers, on observe la clientèle d'une journée. Parmi les clients, 60 %60\,\% sont des femmes (événement FF) et le reste sont des hommes (événement HH). Parmi les femmes, 70 %70\,\% effectuent un achat (événement AA). Parmi les hommes, 55 %55\,\% effectuent un achat. Construire l'arbre pondéré décrivant cette situation, en indiquant la probabilité de chaque branche.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Premier niveau : le sexe du client

    Le premier niveau de l'arbre sépare les femmes des hommes. On lit directement : P(F)=0,60P(F) = 0{,}60. Comme un client est soit une femme, soit un homme, la somme des branches vaut 11, donc P(H)=1−0,60=0,40.P(H) = 1 - 0{,}60 = 0{,}40.

  2. 2. Deuxième niveau à partir de F : achat ou non

    Les pourcentages « parmi les femmes » sont des probabilités conditionnelles sachant FF. On a PF(A)=0,70P_F(A) = 0{,}70 (la femme achète). La somme des branches issues de FF vaut 11, donc PF(A‾)=1−0,70=0,30P_F(\overline{A}) = 1 - 0{,}70 = 0{,}30 (la femme n'achète pas).

  3. 3. Deuxième niveau à partir de H : achat ou non

    De même, « parmi les hommes » donne PH(A)=0,55.P_H(A) = 0{,}55. La somme des branches issues de HH vaut 11, donc PH(A‾)=1−0,55=0,45.P_H(\overline{A}) = 1 - 0{,}55 = 0{,}45.

  4. 4. Assembler l'arbre

    On obtient deux niveaux. Premier niveau : une branche FF (0,600{,}60) et une branche HH (0,400{,}40). Depuis FF : une branche AA (0,700{,}70) et une branche A‾\overline{A} (0,300{,}30). Depuis HH : une branche AA (0,550{,}55) et une branche A‾\overline{A} (0,450{,}45). À chaque nœud, on vérifie que la somme des branches fait bien 11 : 0,60+0,40=10{,}60 + 0{,}40 = 1, 0,70+0,30=10{,}70 + 0{,}30 = 1 et 0,55+0,45=10{,}55 + 0{,}45 = 1. L'arbre est correctement pondéré : niveau 1 (F : 0,60 ; H : 0,40), puis depuis chaque branche, achat et non-achat.
Réponse finale
P(F)=0,60 ; P(H)=0,40 ; PF(A)=0,70 ; PF(A‾)=0,30 ; PH(A)=0,55 ; PH(A‾)=0,45P(F) = 0{,}60 \ ; \ P(H) = 0{,}40 \ ; \ P_F(A) = 0{,}70 \ ; \ P_F(\overline{A}) = 0{,}30 \ ; \ P_H(A) = 0{,}55 \ ; \ P_H(\overline{A}) = 0{,}45
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