Terminale pro · Chapitre 2

Arbres pondérés et probabilités totales

Cours de Terminale pro sur les arbres pondérés : probabilité conditionnelle, formule des probabilités totales, indépendance. Exemples métier et exercices corriges.

8 exercices corrigés · Terminale professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Dans une boutique, un client peut commander en ligne ou en magasin, puis être satisfait ou non. Une pièce livrée à un atelier peut venir d’un fournisseur ou d’un autre, et être conforme ou défectueuse. Pour démêler ces situations à plusieurs étapes, on dispose d’un outil très visuel : l’arbre pondéré. Couplé à la formule des probabilités totales, il permet de calculer la probabilité d’un événement même quand plusieurs chemins y conduisent.

Ce que tu sauras faire

Je sais construire un arbre pondéré à deux niveaux à partir de pourcentages.
Je sais calculer la probabilité d’un chemin en multipliant les branches.
Je sais utiliser la formule des probabilités totales pour additionner plusieurs chemins.
Je sais reconnaître une probabilité conditionnelle et la calculer.
Je sais vérifier si deux événements sont indépendants.

À quoi ça sert dans ton futur métier ?

Tu travailles dans une boutique ou un service commercial. Ton responsable veut savoir : « Sur l’ensemble de nos ventes, quelle est la part de produits retournés ? » Le taux de retour n’est pas le même en ligne qu’en magasin, et tu ne vends pas autant par chaque canal. L’arbre pondéré te permet de combiner ces taux pour répondre, sans te tromper. C’est exactement ce que font les tableaux de pilotage d’un commerce.

Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle de l’événement $B$ sachant que l’événement $A$ est réalisé se note $P_A(B)$ . C’est la probabilité que $B$ se produise quand on sait déjà que $A$ est vrai.

Par exemple, $P_A(B)$ peut se lire « probabilité d’être satisfait sachant que la commande a été passée en ligne ».

Arbre pondéré

Un arbre pondéré représente une expérience qui se déroule en plusieurs étapes. Chaque branche porte une probabilité.

Au premier niveau, les branches partent de la racine : elles portent les probabilités des événements $A$ et $\overline{A}$ .
Au deuxième niveau, les branches portent des probabilités conditionnelles : par exemple $P_A(B)$ part de $A$ .

À chaque embranchement, la somme des probabilités des branches vaut $1$ . C’est le premier réflexe de vérification.

Règles de lecture d'un arbre

Somme des branches : à partir d’un même nœud, les probabilités des branches s’additionnent à $1$ . Ainsi $P(A) + P(\overline{A}) = 1$ et $P_A(B) + P_A(\overline{B}) = 1$ .
Probabilité d’un chemin : la probabilité d’un chemin complet (de la racine à une extrémité) est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.

Probabilité d'un chemin (multiplication)

La probabilité de l’événement « suivre le chemin $A$ puis $B$ », c’est-à-dire l’événement $A \cap B$ (« $A$ et $B$ »), est : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$

On multiplie les probabilités le long du chemin.

Lire un chemin sur un arbre

Une boutique reçoit $65\,\%$ de ses commandes en ligne. Parmi les commandes en ligne, $80\,\%$ des clients sont satisfaits.

On note $L$ l’événement « commander en ligne » et $S$ « être satisfait ». Alors $P(L) = 0{,}65$ et $P_L(S) = 0{,}80$ .

La probabilité qu’un client commande en ligne et soit satisfait est le produit le long du chemin : $P(L \cap S) = P(L) \times P_L(S) = 0{,}65 \times 0{,}80 = 0{,}52.$

Soit $52\,\%$ des clients.

Formule des probabilités totales

Quand l’événement $A$ et son contraire $\overline{A}$ partagent toutes les possibilités (par exemple « en ligne » et « en magasin »), la probabilité d’un événement $B$ s’obtient en additionnant les deux chemins qui mènent à $B$ : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$ $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$

En résumé : pour chaque chemin qui aboutit à $B$ , on multiplie les branches, puis on additionne tous ces chemins.

Calculer une probabilité totale

Construire (ou lire) l’arbre et repérer tous les chemins qui aboutissent à l’événement cherché $B$ .
Pour chaque chemin, multiplier les probabilités des branches.
Additionner les probabilités obtenues.
Vérifier que le résultat est bien compris entre $0$ et $1$ .

Exemple : retour produit. En ligne $P(L) = 0{,}65$ avec $P_L(R) = 0{,}12$ ; en magasin $P(M) = 0{,}35$ avec $P_M(R) = 0{,}04$ . $P(R) = 0{,}65 \times 0{,}12 + 0{,}35 \times 0{,}04 = 0{,}078 + 0{,}014 = 0{,}092.$ Soit $9{,}2\,\%$ de retours sur l’ensemble des ventes.

Indépendance de deux événements

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants quand la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre. On le vérifie avec l’égalité : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Si cette égalité est vraie, alors $A$ et $B$ sont indépendants.
Si elle est fausse, alors $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

Tester l'indépendance de deux événements

Calculer le produit $P(A) \times P(B)$ .
Lire ou calculer $P(A \cap B)$ (la probabilité que les deux se produisent ensemble).
Comparer ces deux nombres :
- s’ils sont égaux, les événements sont indépendants ;
- s’ils sont différents, les événements ne sont pas indépendants.

Conclure par une phrase claire en revenant au contexte.

Probabilité conditionnelle à partir d'un chemin

À partir de la probabilité d’un chemin, on peut remonter vers une probabilité conditionnelle : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

C’est utile pour répondre à une question du type « sachant que la pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle vienne du fournisseur A ? ».

Les pièges à éviter

Additionner les branches d’un même chemin. C’est faux : le long d’un chemin on multiplie. ~~$P(L \cap S) = 0{,}65 + 0{,}80$~~ . En réalité $P(L \cap S) = 0{,}65 \times 0{,}80 = 0{,}52$ .
Confondre $P_A(B)$ et $P(A \cap B)$ . $P_A(B)$ est une probabilité conditionnelle (lue sur une branche de deuxième niveau, le « parmi… »). $P(A \cap B)$ est la probabilité du chemin complet depuis la racine. Le VRAI lien est $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .
Oublier un chemin dans les probabilités totales. Pour $P(B)$ , il faut additionner tous les chemins qui mènent à $B$ , donc ici celui qui passe par $A$ et celui qui passe par $\overline{A}$ .
Conclure l’indépendance « au feeling ». Il faut comparer deux nombres : $P(A \cap B)$ d’un côté, $P(A) \times P(B)$ de l’autre. Une impression ne suffit pas.

Le mémo des deux opérations

Une seule phrase à retenir : le long d’un chemin, je multiplie ; entre plusieurs chemins, j’additionne. Et à chaque nœud, la somme des branches doit faire $1$ : si ce n’est pas le cas, il y a une erreur de lecture.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Construire un arbre pondéré pour une boutique

Dans une boutique de sneakers, on observe la clientèle d'une journée. Parmi les clients, $60\,\%$ sont des femmes (événement $F$ ) et le reste sont des hommes (événement $H$ ). Parmi les femmes, $70\,\%$ effectuent un achat (événement $A$ ). Parmi les hommes, $55\,\%$ effectuent un achat. Construire l'arbre pondéré décrivant cette situation, en indiquant la probabilité de chaque branche.

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Probabilité d'un chemin : client en ligne et satisfait

Un site de vente de smartphones a établi l'arbre pondéré suivant. Un client commande en ligne (événement $L$ ) avec $P(L) = 0{,}65$ , sinon il vient en magasin (événement $M$ ). Sachant qu'il a commandé en ligne, il est satisfait (événement $S$ ) avec $P_L(S) = 0{,}80.$ Calculer la probabilité qu'un client commande en ligne et soit satisfait, c'est-à-dire $P(L \cap S).$

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Indépendance : abonnement premium et visionnage sur mobile

Une plateforme de streaming analyse ses utilisateurs. Un utilisateur regarde principalement sur son téléphone (événement $T$ ) avec $P(T) = 0{,}80.$ Un utilisateur a souscrit l'abonnement premium (événement $A$ ) avec $P(A) = 0{,}30.$ Par ailleurs, la probabilité qu'un utilisateur regarde sur son téléphone et soit abonné premium vaut $P(T \cap A) = 0{,}21.$ Les événements $T$ et $A$ sont-ils indépendants ?

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Probabilités totales : taux de retour selon le canal de vente

Une enseigne de vêtements vend par deux canaux. Une commande est passée en ligne (événement $L$ ) avec $P(L) = 0{,}65$ , ou en magasin (événement $M$ ) avec $P(M) = 0{,}35.$ Un produit acheté en ligne est retourné (événement $R$ ) avec une probabilité $P_L(R) = 0{,}12$ ; un produit acheté en magasin est retourné avec une probabilité $P_M(R) = 0{,}04.$ Calculer la probabilité $P(R)$ qu'un produit pris au hasard soit retourné.

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Tester l'indépendance : paiement sans contact et client fidèle

Dans une boulangerie, on étudie les passages en caisse. Un client paie sans contact (événement $C$ ) avec $P(C) = 0{,}75.$ Un client fait partie du programme de fidélité (événement $F$ ) avec $P(F) = 0{,}40.$ Enfin, la probabilité qu'un client paie sans contact et soit fidèle vaut $P(C \cap F) = 0{,}30.$ Les événements $C$ et $F$ sont-ils indépendants ?

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Cartes mémoire défectueuses : origine la plus probable

Un atelier de réparation reçoit des cartes mémoire de $256$ Go de deux usines. L'usine X fournit $40\,\%$ des cartes (événement $X$ ) et l'usine Y fournit le reste (événement $Y$ ). Parmi les cartes de l'usine X, $5\,\%$ sont défectueuses (événement $D$ ) ; parmi celles de l'usine Y, $2\,\%$ sont défectueuses. On prélève une carte au hasard dans le stock. 1) Calculer la probabilité $P(D)$ qu'une carte soit défectueuse. 2) Sachant qu'une carte est défectueuse, calculer la probabilité $P_D(Y)$ qu'elle provienne de l'usine Y. Donner la valeur exacte sous forme de fraction irréductible.

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Bonus

Deux fournisseurs : pièce défectueuse et origine probable

Un atelier de fabrication reçoit ses pièces de deux fournisseurs. Le fournisseur A livre $70\,\%$ des pièces (événement $A$ ) et le fournisseur B livre le reste (événement $B$ ). Parmi les pièces du fournisseur A, $3\,\%$ sont défectueuses (événement $D$ ) ; parmi celles du fournisseur B, $8\,\%$ sont défectueuses. On prélève une pièce au hasard dans le stock. 1) Calculer la probabilité $P(D)$ que la pièce soit défectueuse. 2) Sachant que la pièce prélevée est défectueuse, calculer la probabilité $P_D(A)$ qu'elle provienne du fournisseur A. Arrondir au millième.

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Livraisons d'un food-truck : commande en retard puis à l'heure

Un food-truck prend ses commandes via une application. Une commande est passée le midi (événement $M$ ) avec $P(M) = 0{,}55$ , ou le soir (événement $S$ ) avec $P(S) = 0{,}45.$ Une commande du midi est livrée en retard (événement $R$ ) avec une probabilité $P_M(R) = 0{,}10$ ; une commande du soir est livrée en retard avec une probabilité $P_S(R) = 0{,}20.$ 1) Calculer la probabilité $P(R)$ qu'une commande prise au hasard soit livrée en retard. 2) En déduire la probabilité qu'une commande soit livrée à l'heure.

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Questions fréquentes

À quoi sert un arbre pondéré en probabilités ?

Un arbre pondéré sert à organiser une situation qui se déroule en plusieurs étapes, par exemple le canal de vente puis la satisfaction d'un client. Chaque branche porte une probabilité. La probabilité d'un chemin complet s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées le long de ce chemin.

Comment calculer une probabilité avec la formule des probabilités totales ?

On repère tous les chemins de l'arbre qui aboutissent à l'événement cherché. On calcule la probabilité de chaque chemin en multipliant ses branches, puis on additionne les résultats de tous ces chemins. Par exemple, la probabilité qu'un produit soit retourné est la somme des probabilités de retour en ligne et de retour en magasin.

Que signifie que deux événements sont indépendants ?

Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre. On le vérifie en comparant deux nombres : la probabilité que les deux événements se produisent ensemble, et le produit de leurs probabilités séparées. Si ces deux nombres sont égaux, les événements sont indépendants, sinon ils ne le sont pas.