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Deux fournisseurs : pièce défectueuse et origine probable

Énoncé

Un atelier de fabrication reçoit ses pièces de deux fournisseurs. Le fournisseur A livre 70 %70\,\% des pièces (événement AA) et le fournisseur B livre le reste (événement BB). Parmi les pièces du fournisseur A, 3 %3\,\% sont défectueuses (événement DD) ; parmi celles du fournisseur B, 8 %8\,\% sont défectueuses. On prélève une pièce au hasard dans le stock. 1) Calculer la probabilité P(D)P(D) que la pièce soit défectueuse. 2) Sachant que la pièce prélevée est défectueuse, calculer la probabilité PD(A)P_D(A) qu'elle provienne du fournisseur A. Arrondir au millième.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par construire l'arbre : niveau 1 les deux fournisseurs A et B, niveau 2 défectueuse ou non pour chacun.
  2. Pour P(D)P(D), additionne les deux chemins défectueux : P(A)×PA(D)P(A) \times P_A(D) et P(B)×PB(D)P(B) \times P_B(D).
  3. Pour la question 2, c'est un retour vers la cause : PD(A)=P(A∩D)P(D)P_D(A) = \dfrac{P(A \cap D)}{P(D)}, où P(A∩D)P(A \cap D) est le chemin A puis défectueuse déjà calculé.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Mettre en place l'arbre

    Premier niveau : P(A)=0,70P(A) = 0{,}70 et P(B)=1−0,70=0,30.P(B) = 1 - 0{,}70 = 0{,}30. Deuxième niveau, les taux de défaut sont des probabilités conditionnelles : PA(D)=0,03P_A(D) = 0{,}03 depuis AA, et PB(D)=0,08P_B(D) = 0{,}08 depuis BB. À chaque nœud, la somme des branches vaut 11.

  2. 2. Probabilité de chaque chemin défectueux

    Une pièce défectueuse vient soit de A, soit de B. On multiplie le long de chaque chemin : P(A∩D)=P(A)×PA(D)=0,70×0,03=0,021P(A \cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0{,}70 \times 0{,}03 = 0{,}021 et P(B∩D)=P(B)×PB(D)=0,30×0,08=0,024.P(B \cap D) = P(B) \times P_B(D) = 0{,}30 \times 0{,}08 = 0{,}024.

  3. 3. Probabilités totales : P(D)

    D'après la formule des probabilités totales, on additionne les deux chemins : P(D)=P(A∩D)+P(B∩D)=0,021+0,024=0,045.P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) = 0{,}021 + 0{,}024 = 0{,}045. La probabilité qu'une pièce soit défectueuse est 0,0450{,}045, soit 4,5 %4{,}5\,\%.

  4. 4. Revenir vers la cause : la probabilité conditionnelle

    On cherche maintenant la probabilité que la pièce vienne de A sachant qu'elle est défectueuse. On utilise PD(A)=P(A∩D)P(D).P_D(A) = \dfrac{P(A \cap D)}{P(D)}. On remplace par les valeurs : PD(A)=0,0210,045.P_D(A) = \dfrac{0{,}021}{0{,}045}.

  5. 5. Calculer et arrondir

    On effectue le quotient : 0,0210,045=2145=715≈0,467.\dfrac{0{,}021}{0{,}045} = \dfrac{21}{45} = \dfrac{7}{15} \approx 0{,}467. Sachant que la pièce est défectueuse, la probabilité qu'elle vienne du fournisseur A est environ 0,4670{,}467, soit à peu près 46,7 %46{,}7\,\%. Bien que A fournisse 70 %70\,\% des pièces, son faible taux de défaut fait que moins de la moitié des pièces défectueuses viennent de lui : l'ordre de grandeur est cohérent.
Réponse finale
P(D)=0,70×0,03+0,30×0,08=0,045etPD(A)=0,0210,045=715≈0,467P(D) = 0{,}70 \times 0{,}03 + 0{,}30 \times 0{,}08 = 0{,}045 \quad \text{et} \quad P_D(A) = \frac{0{,}021}{0{,}045} = \frac{7}{15} \approx 0{,}467
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