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Terminale pro

Livraisons d'un food-truck : commande en retard puis à l'heure

Énoncé

Un food-truck prend ses commandes via une application. Une commande est passée le midi (événement MM) avec P(M)=0,55P(M) = 0{,}55, ou le soir (événement SS) avec P(S)=0,45.P(S) = 0{,}45. Une commande du midi est livrée en retard (événement RR) avec une probabilité PM(R)=0,10P_M(R) = 0{,}10 ; une commande du soir est livrée en retard avec une probabilité PS(R)=0,20.P_S(R) = 0{,}20. 1) Calculer la probabilité P(R)P(R) qu'une commande prise au hasard soit livrée en retard. 2) En déduire la probabilité qu'une commande soit livrée à l'heure.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Un retard peut venir d'une commande du midi ou d'une commande du soir : il y a donc deux chemins à additionner.
  2. Pour chaque chemin, multiplie la probabilité du créneau par la probabilité de retard de ce créneau, par exemple P(M)×PM(R)P(M) \times P_M(R).
  3. Pour la question 2, « à l'heure » est le contraire de « en retard » : utilise P(R‾)=1−P(R)P(\overline{R}) = 1 - P(R).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Repérer les chemins menant à un retard

    Une commande peut être en retard de deux façons : soit elle a été passée le midi puis livrée en retard (chemin MM puis RR), soit le soir puis en retard (chemin SS puis RR). Comme MM et SS couvrent toutes les commandes, on applique la formule des probabilités totales : P(R)=P(M∩R)+P(S∩R).P(R) = P(M \cap R) + P(S \cap R).

  2. 2. Calculer la probabilité du chemin par le midi

    On multiplie les branches du chemin MM puis RR : P(M∩R)=P(M)×PM(R)=0,55×0,10=0,055.P(M \cap R) = P(M) \times P_M(R) = 0{,}55 \times 0{,}10 = 0{,}055.

  3. 3. Calculer la probabilité du chemin par le soir

    On multiplie les branches du chemin SS puis RR : P(S∩R)=P(S)×PS(R)=0,45×0,20=0,090.P(S \cap R) = P(S) \times P_S(R) = 0{,}45 \times 0{,}20 = 0{,}090.

  4. 4. Additionner les deux chemins : P(R)

    D'après la formule des probabilités totales, on additionne les deux résultats : P(R)=0,055+0,090=0,145.P(R) = 0{,}055 + 0{,}090 = 0{,}145. Ce nombre est bien compris entre 00 et 11. La probabilité qu'une commande soit livrée en retard est 0,1450{,}145, soit 14,5 %14{,}5\,\%.

  5. 5. Passer à l'événement contraire : livrée à l'heure

    Être livré à l'heure est l'événement contraire d'être en retard, c'est-à-dire R‾.\overline{R}. La somme des probabilités d'un événement et de son contraire vaut 11, donc P(R‾)=1−P(R)=1−0,145=0,855.P(\overline{R}) = 1 - P(R) = 1 - 0{,}145 = 0{,}855. La probabilité qu'une commande soit livrée à l'heure est 0,8550{,}855, soit 85,5 %85{,}5\,\%.
Réponse finale
P(R)=0,55×0,10+0,45×0,20=0,145etP(R‾)=1−0,145=0,855P(R) = 0{,}55 \times 0{,}10 + 0{,}45 \times 0{,}20 = 0{,}145 \quad \text{et} \quad P(\overline{R}) = 1 - 0{,}145 = 0{,}855
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