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Rêves Vision
Terminale pro

Tester l'indépendance : paiement sans contact et client fidèle

Énoncé

Dans une boulangerie, on étudie les passages en caisse. Un client paie sans contact (événement CC) avec P(C)=0,75.P(C) = 0{,}75. Un client fait partie du programme de fidélité (événement FF) avec P(F)=0,40.P(F) = 0{,}40. Enfin, la probabilité qu'un client paie sans contact et soit fidèle vaut P(C∩F)=0,30.P(C \cap F) = 0{,}30. Les événements CC et FF sont-ils indépendants ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour tester l'indépendance, tu dois comparer deux quantités : P(C∩F)P(C \cap F) et le produit P(C)×P(F)P(C) \times P(F).
  2. Calcule d'abord le produit P(C)×P(F)=0,75×0,40P(C) \times P(F) = 0{,}75 \times 0{,}40, puis regarde s'il est égal à 0,300{,}30.
  3. Si les deux nombres sont égaux, les événements sont indépendants ; s'ils diffèrent, ils ne le sont pas. Conclus par une phrase.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Rappeler le critère d'indépendance

    Deux événements CC et FF sont indépendants si, et seulement si, P(C∩F)=P(C)×P(F).P(C \cap F) = P(C) \times P(F). Il faut donc comparer deux nombres : la probabilité de l'intersection, et le produit des probabilités.

  2. 2. Calculer le produit des probabilités

    On calcule le produit P(C)×P(F)=0,75×0,40=0,30.P(C) \times P(F) = 0{,}75 \times 0{,}40 = 0{,}30.

  3. 3. Comparer avec la probabilité de l'intersection

    L'énoncé donne P(C∩F)=0,30.P(C \cap F) = 0{,}30. On compare : P(C∩F)=0,30P(C \cap F) = 0{,}30 et P(C)×P(F)=0,30.P(C) \times P(F) = 0{,}30. Les deux nombres sont égaux.

  4. 4. Conclure

    Puisque P(C∩F)=P(C)×P(F)P(C \cap F) = P(C) \times P(F), le critère d'indépendance est vérifié. Les événements « payer sans contact » et « être un client fidèle » sont indépendants : être fidèle ne change pas la probabilité de payer sans contact.
Réponse finale
P(C)×P(F)=0,75×0,40=0,30=P(C∩F) donc C et F sont indeˊpendantsP(C) \times P(F) = 0{,}75 \times 0{,}40 = 0{,}30 = P(C \cap F) \ \text{donc } C \text{ et } F \text{ sont indépendants}
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