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Terminale pro

Ajustement affine après changement de variable (fréquentation)

Énoncé

Le site d'une boutique en ligne mesure sa fréquentation quotidienne (en nombre de visiteurs) la première semaine après une publicité. On note xx le rang du jour. Le nuage des points (x ; y)(x\,;\,y) monte de plus en plus vite : impossible de l'ajuster directement par une droite.

| xx (jour) | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 |
|---|---|---|---|---|---|
| yy (visiteurs) | 120120 | 180180 | 270270 | 405405 | 608608 |

1. Compléter le tableau en calculant Y=ln⁡yY = \ln y (arrondir au centième). 2. Vérifier que le nuage (x ; Y)(x\,;\,Y) est presque aligné. Le tableur donne pour ce nouveau nuage la droite d'ajustement Y=0,405 x+4,385Y = 0{,}405\,x + 4{,}385. 3. Utiliser cette droite pour estimer la fréquentation du sixième jour.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Un nuage qui monte de plus en plus vite se redresse souvent en posant Y=ln⁡yY = \ln y. Calcule cette nouvelle ligne avant tout.
  2. Une fois la valeur de YY trouvée au rang 66, n'oublie pas que c'est un logarithme : pour revenir au nombre de visiteurs, applique y=e Yy = e^{\,Y}.
  3. Pose le calcul final : y=e0,405×6+4,385=e6,815y = e^{0{,}405 \times 6 + 4{,}385} = e^{6{,}815}, puis utilise la touche exe^x de la calculatrice.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer le changement de variable $Y = \ln y$

    On calcule ln⁡y\ln y pour chaque valeur (touche ln⁡\ln de la calculatrice) :
    ln⁡120≈4,79\ln 120 \approx 4{,}79 ; ln⁡180≈5,19\ln 180 \approx 5{,}19 ; ln⁡270≈5,60\ln 270 \approx 5{,}60 ; ln⁡405≈6,00\ln 405 \approx 6{,}00 ; ln⁡608≈6,41\ln 608 \approx 6{,}41.

    | xx | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 |
    |---|---|---|---|---|---|
    | Y=ln⁡yY = \ln y | 4,794{,}79 | 5,195{,}19 | 5,605{,}60 | 6,006{,}00 | 6,416{,}41 |

  2. 2. Vérifier que le nouveau nuage est aligné

    On regarde de combien YY augmente d'un jour au suivant : 5,19−4,79=0,405{,}19 - 4{,}79 = 0{,}40 ; 5,60−5,19=0,415{,}60 - 5{,}19 = 0{,}41 ; 6,00−5,60=0,406{,}00 - 5{,}60 = 0{,}40 ; 6,41−6,00=0,416{,}41 - 6{,}00 = 0{,}41. Les écarts sont quasiment constants (environ 0,400{,}40) : le nuage (x ; Y)(x\,;\,Y) est donc presque aligné, et un ajustement affine est cette fois justifié.

  3. 3. Extrapoler $Y$ au sixième jour

    Le sixième jour correspond au rang x=6x = 6. On remplace dans la droite d'ajustement Y=0,405 x+4,385Y = 0{,}405\,x + 4{,}385 : Y=0,405×6+4,385=2,43+4,385=6,815.Y = 0{,}405 \times 6 + 4{,}385 = 2{,}43 + 4{,}385 = 6{,}815. Attention : 6,8156{,}815 est la valeur de Y=ln⁡yY = \ln y, pas le nombre de visiteurs.

  4. 4. Revenir à la variable de départ

    Pour retrouver yy à partir de Y=ln⁡yY = \ln y, on utilise y=e Yy = e^{\,Y} (touche exe^x). On calcule y=e6,815≈911.y = e^{6{,}815} \approx 911. On estime la fréquentation du sixième jour à environ 911911 visiteurs.
Réponse finale
Y=0,405×6+4,385=6,815puisy=e6,815≈911 visiteursY = 0{,}405 \times 6 + 4{,}385 = 6{,}815 \quad \text{puis} \quad y = e^{6{,}815} \approx 911 \ \text{visiteurs}
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