Terminale pro · Chapitre 1

Ajustement et changement de variable

Cours de Terminale pro : ajuster un nuage de points (pas seulement affine), interpoler et extrapoler, et réaliser un ajustement affine après changement de variable. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Une boutique relève ses ventes chaque année, une chaîne de streaming compte ses abonnés chaque mois : on obtient à chaque fois deux séries de nombres liées. En les plaçant sur un graphique, on forme un nuage de points. Tout l’enjeu de ce chapitre est de résumer ce nuage par une courbe simple - une droite quand c’est possible - pour ensuite prévoir une valeur manquante ou future. Et quand le nuage est trop courbé pour une droite, un changement de variable permet de se ramener malgré tout à un ajustement affine.

Mes objectifs

À la fin de ce chapitre, je sais :

lire et interpréter un nuage de points ajusté pour interpoler ou extrapoler une valeur ;
choisir, au tableur, l’ajustement le plus adapté à la forme d’un nuage (affine, exponentiel…) ;
réaliser un changement de variable ( $X = \ln x$ , $Y = \ln y$ ou $X = \frac{1}{x}$ ) pour me ramener à un ajustement affine ;
comparer deux ajustements grâce au coefficient de détermination $R^2$ et juger de la fiabilité d’une prévision.

À quoi ça sert ?

Imagine que ta boutique en ligne a vendu pour $8\,000$ €, puis $10\,000$ €, puis $13\,000$ € sur trois ans. Combien viseras-tu l’an prochain pour ton stock et ta trésorerie ? Tu ne vas pas répondre au hasard : tu traces le nuage, tu repères la tendance, et tu la prolonges. C’est exactement ce que font les commerciaux, les gestionnaires de stock ou les responsables de production pour anticiper. Savoir ajuster un nuage, c’est transformer un tableau de chiffres en une prévision que tu peux défendre.

1. Nuage de points et ajustement

Série statistique à deux variables, nuage de points

On étudie deux grandeurs mesurées sur les mêmes individus : une variable $x$ (par exemple l’année) et une variable $y$ (par exemple le chiffre d’affaires). Chaque couple $(x_i\,;\,y_i)$ se représente par un point dans un repère. L’ensemble de ces points forme le nuage de points de la série.

Ajuster un nuage

Ajuster un nuage, c’est trouver une fonction simple dont la courbe passe « au plus près » de tous les points. Cette courbe d’ajustement résume la série et sert ensuite à faire des prévisions.

Si les points sont à peu près alignés, on choisit un ajustement affine : la courbe est une droite d’équation $y = ax + b$ .
Si les points dessinent une courbe (montée de plus en plus rapide, ou au contraire qui s’aplatit), un ajustement affine n’est pas adapté : on cherche un autre modèle (par exemple exponentiel, $y = k \times q^{\,x}$ ).

Choisir la forme de l'ajustement

Avant tout calcul, regarde la forme du nuage :

les points montent (ou descendent) en ligne presque droite $\rightarrow$ ajustement affine ;
les points montent de plus en plus vite (la pente s’accentue) $\rightarrow$ ajustement exponentiel ( $y = k \times q^{\,x}$ ) ;
les points montent puis s’aplatissent (croissance qui ralentit) $\rightarrow$ ajustement par un logarithme ou par une fonction en $\frac{1}{x}$ .

Le bon réflexe : tracer d’abord le nuage, décider de la forme, puis seulement faire calculer l’ajustement par le tableur.

2. Interpoler et extrapoler

Interpolation et extrapolation

Une fois la courbe d’ajustement obtenue, on s’en sert pour estimer une valeur de $y$ à partir d’une valeur de $x$ :

interpoler : estimer $y$ pour un $x$ situé à l’intérieur de la plage des données connues (entre deux valeurs déjà observées) ;
extrapoler : estimer $y$ pour un $x$ situé en dehors de cette plage (avant la première donnée ou, le plus souvent, après la dernière, pour prévoir l’avenir).

Estimer une valeur avec l'ajustement

On connaît l’équation de l’ajustement, par exemple $y = 1\,500\,x + 6\,500$ (où $x$ est le rang de l’année).

Repérer le rang $x$ correspondant à l’année cherchée.
Remplacer $x$ par sa valeur dans l’équation.
Calculer $y$ et conclure par une phrase, avec l’unité.

Exemple : pour le rang $x = 5$ , on a $y = 1\,500 \times 5 + 6\,500 = 7\,500 + 6\,500 = 14\,000$ . On estime donc le chiffre d’affaires à environ $14\,000$ € pour cette année.

Interpoler ou extrapoler : le repère mental

Range tes données connues sur une ligne, de la plus petite à la plus grande valeur de $x$ .

La valeur cherchée tombe entre deux données $\rightarrow$ tu interpoles (estimation plutôt sûre).
La valeur cherchée tombe au-delà de la dernière donnée $\rightarrow$ tu extrapoles (estimation à prendre avec prudence).

Le piège de l'extrapolation lointaine

FAUX : « L’ajustement donne une équation, donc je peux prévoir les ventes dans 20 ans avec la même fiabilité que l’an prochain. »

VRAI : plus on s’éloigne des données connues, moins la prévision est fiable. Un ajustement décrit la tendance sur la période observée ; rien ne garantit qu’un marché continue de croître au même rythme (concurrence, mode qui passe, saturation). On extrapole sur un horizon court et on précise toujours que le résultat est une estimation qui suppose que la tendance se maintienne.

3. Le coefficient de détermination

Coefficient de détermination $R^2$

Le coefficient de détermination, noté $R^2$ , est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure la qualité de l’ajustement : il indique à quel point la courbe colle aux points du nuage.

$R^2$ proche de $1$ : l’ajustement est très bon, les points sont presque tous sur la courbe.
$R^2$ proche de $0$ : l’ajustement est mauvais, la courbe résume mal le nuage.

Comparer deux ajustements

Quand plusieurs modèles sont possibles (par exemple un ajustement affine et un ajustement exponentiel), on les compare grâce à leur coefficient de détermination : on retient celui dont $R^2$ est le plus proche de $1$ .

Au tableur, on affiche $R^2$ avec la courbe de tendance (option « Afficher le coefficient de détermination ») : il suffit de lire et de comparer les deux valeurs.

Ce que $R^2$ ne dit pas

FAUX : « $R^2 = 0{,}99$ , donc ma prévision pour dans 10 ans est forcément juste. »

VRAI : un $R^2$ proche de $1$ signifie seulement que le modèle colle bien aux données déjà connues. Il ne garantit pas que la tendance se prolongera dans le futur. Un excellent $R^2$ justifie le choix du modèle, pas la fiabilité d’une extrapolation lointaine.

4. Changement de variable

Quand le nuage est trop courbé pour une droite, on ne renonce pas à l’ajustement affine : on transforme les données pour redresser le nuage.

Principe du changement de variable

Un changement de variable consiste à remplacer $x$ ou $y$ par une nouvelle quantité (souvent $\ln x$ , $\ln y$ ou $\frac{1}{x}$ ) de façon que le nouveau nuage soit, lui, presque aligné. On peut alors lui appliquer un ajustement affine, puis revenir à la variable de départ.

Croissance exponentielle : poser $Y = \ln y$

Si une grandeur $y$ croît de façon exponentielle ( $y = k \times q^{\,x}$ , par exemple un nombre d’abonnés qui augmente d’un pourcentage fixe chaque mois), alors la suite des valeurs $Y = \ln y$ est, elle, à peu près alignée en fonction de $x$ .

On réalise donc l’ajustement affine $Y = a x + b$ , c’est-à-dire $\ln y = a x + b$ .

Ajuster après changement de variable

On dispose d’un tableau $(x\,;\,y)$ dont le nuage est courbé (montée de plus en plus rapide).

Créer une nouvelle ligne $Y = \ln y$ : calculer $\ln y$ pour chaque valeur (à la calculatrice ou au tableur).
Tracer le nuage $(x\,;\,Y)$ et vérifier qu’il est maintenant presque aligné.
Ajuster ce nouveau nuage par une droite : $Y = a x + b$ (équation donnée par le tableur).
Utiliser cette droite pour interpoler ou extrapoler une valeur de $Y$ , puis revenir à $y$ si besoin (en repassant de $\ln y$ à $y$ ).

Un changement de variable sur des abonnés

Une chaîne compte ses abonnés (en milliers) au fil des mois ( $x$ = rang du mois) :

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$20$	$30$	$45$	$68$

Le nuage monte de plus en plus vite : pas de droite possible directement. On pose $Y = \ln y$ :

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$Y = \ln y$	$3{,}00$	$3{,}40$	$3{,}81$	$4{,}22$

Cette fois, $Y$ augmente d’environ $0{,}40$ à chaque mois : le nuage $(x\,;\,Y)$ est presque aligné. On peut donc l’ajuster par une droite $Y = a x + b$ et travailler sur les abonnés transformés.

Autre cas fréquent : poser $X = \frac{1}{x}$

Lorsqu’une grandeur $y$ diminue puis s’aplatit quand $x$ augmente (par exemple un coût unitaire qui baisse quand on produit plus), le changement de variable $X = \frac{1}{x}$ rend souvent le nuage $(X\,;\,y)$ presque aligné. On ajuste alors par une droite $y = a X + b$ , c’est-à-dire $y = a \times \frac{1}{x} + b$ .

Ne pas oublier de revenir à la variable de départ

FAUX : après avoir trouvé $Y = 0{,}40\,x + 2{,}60$ avec $Y = \ln y$ , répondre « le nombre d’abonnés au mois $6$ est $Y = 0{,}40 \times 6 + 2{,}60 = 5{,}00$ ».

VRAI : $5{,}00$ est la valeur de $Y = \ln y$ , pas celle de $y$  ! Il faut revenir à $y$ en utilisant $y = e^{\,Y}$ . Ici $y = e^{5{,}00} \approx 148$ , soit environ $148$ milliers d’abonnés. Tant que tu travailles avec $\ln y$ , ton résultat est un logarithme, pas la grandeur réelle.

Quel changement de variable choisir ?

Nuage qui monte de plus en plus vite (croissance par pourcentage) $\rightarrow$ pose $Y = \ln y$ .
Nuage qui descend et s’aplatit quand $x$ grandit $\rightarrow$ pose $X = \frac{1}{x}$ .

Dans les deux cas, l’objectif est le même : obtenir un nuage aligné pour pouvoir faire un ajustement affine, qui est le plus simple à exploiter.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Choisir au tableur l'ajustement le plus adapté

Une chaîne de streaming suit son nombre d'abonnés (en milliers) mois après mois. On note $x$ le rang du mois. Au tableur, on a saisi les données et on a tracé le nuage : les points montent de plus en plus vite. On teste ensuite deux courbes de tendance, et le tableur affiche le coefficient de détermination de chacune : ajustement affine, $R^2 = 0{,}94$ ; ajustement exponentiel, $R^2 = 0{,}999$ . Quel ajustement faut-il retenir ? Justifier.

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Interpoler l'espace de stockage d'un jeu vidéo

Un éditeur de jeux vidéo suit la taille de son jeu (en Go) à chaque grosse mise à jour. On note $x$ le rang de la mise à jour.

| $x$ (mise à jour) | $1$ | $2$ | $3$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ (taille en Go) | $15{,}5$ | $20$ | $24{,}5$ | $33{,}5$ | $38$ |

La quatrième mise à jour ( $x = 4$ ) n'a pas été notée. Le nuage des points est presque aligné, et le tableur a tracé la droite d'ajustement d'équation $y = 4{,}5\,x + 11$ . Estimer la taille du jeu à la quatrième mise à jour.

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Lire les ventes de l'année suivante sur un nuage ajusté

Une boutique de sneakers relève son chiffre d'affaires annuel (en milliers d'euros). On note $x$ le rang de l'année : $x = 1$ pour la première année, ..., $x = 5$ pour la cinquième. Le nuage des cinq points est presque aligné, et le tableur a tracé la droite d'ajustement d'équation $y = 1{,}5\,x + 6{,}5$ . Estimer le chiffre d'affaires de la sixième année.

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Ajustement affine après changement de variable (fréquentation)

Le site d'une boutique en ligne mesure sa fréquentation quotidienne (en nombre de visiteurs) la première semaine après une publicité. On note $x$ le rang du jour. Le nuage des points $(x\,;\,y)$ monte de plus en plus vite : impossible de l'ajuster directement par une droite.

| $x$ (jour) | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ (visiteurs) | $120$ | $180$ | $270$ | $405$ | $608$ |

1. Compléter le tableau en calculant $Y = \ln y$ (arrondir au centième). 2. Vérifier que le nuage $(x\,;\,Y)$ est presque aligné. Le tableur donne pour ce nouveau nuage la droite d'ajustement $Y = 0{,}405\,x + 4{,}385$ . 3. Utiliser cette droite pour estimer la fréquentation du sixième jour.

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Comparer un ajustement affine et un ajustement exponentiel

Un atelier de production note chaque année le nombre d'articles fabriqués (en milliers). On note $x$ le rang de l'année.

| $x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $50$ | $72$ | $103$ | $148$ | $213$ |

Au tableur, on teste deux courbes de tendance. La droite d'ajustement affine a pour équation $y = 40{,}2\,x - 3{,}4$ avec $R^2 = 0{,}957$ . La courbe d'ajustement exponentiel a pour équation $y = 34{,}9 \times 1{,}44^{\,x}$ avec $R^2 = 0{,}999$ . 1. Lequel des deux ajustements est le plus adapté ? 2. Avec le modèle retenu, estimer la production de la sixième année.

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Coût unitaire d'un atelier avec changement de variable inverse

Un atelier fabrique des sweats personnalisés sur commande. Plus la commande est grande, plus le coût unitaire (prix de revient d'un sweat, en euros) baisse, car les frais fixes sont répartis sur plus d'articles. On note $x$ le nombre de sweats commandés et $y$ le coût unitaire.

| $x$ (sweats) | $20$ | $40$ | $50$ | $80$ | $100$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ (€) | $46$ | $26$ | $22$ | $16$ | $14$ |

Le nuage des points $(x\,;\,y)$ descend puis s'aplatit : il n'est pas aligné. On pose donc le changement de variable $X = \dfrac{1}{x}$ . 1. Calculer $X = \dfrac{1}{x}$ pour chaque commande. 2. Vérifier que le nuage $(X\,;\,y)$ est presque aligné. Le tableur donne pour ce nouveau nuage la droite $y = 800\,X + 6$ . 3. Estimer le coût unitaire pour une commande de $200$ sweats.

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Bonus

Modéliser le chiffre d'affaires d'une boutique en ligne

Une boutique en ligne de vêtements suit son chiffre d'affaires annuel (en milliers d'euros) depuis son ouverture. On note $x$ le rang de l'année.

| $x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ (en milliers d'€) | $8$ | $10{,}4$ | $13{,}5$ | $17{,}6$ | $22{,}9$ |

Le nuage monte de plus en plus vite. 1. Calculer $Y = \ln y$ pour chaque année (arrondir au centième) et justifier qu'un ajustement affine de $(x\,;\,Y)$ est pertinent. 2. Le tableur donne pour $(x\,;\,Y)$ la droite $Y = 0{,}263\,x + 1{,}816$ avec $R^2 = 0{,}999$ . Estimer le chiffre d'affaires dans 2 ans (soit la septième année). 3. Discuter la fiabilité de cette prévision.

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Prévoir les vues d'une vidéo grâce au logarithme

Un créateur de contenu suit le nombre de vues mensuelles de sa chaîne (en milliers de vues) depuis qu'une de ses vidéos est devenue virale. On note $x$ le rang du mois.

| $x$ (mois) | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ (milliers de vues) | $200$ | $330$ | $545$ | $900$ | $1\,480$ |

Le nuage monte de plus en plus vite : aucun ajustement affine direct n'est possible. 1. Justifier que la croissance est exponentielle, puis calculer $Y = \ln y$ pour chaque mois (arrondir au centième). 2. Vérifier que le nuage $(x\,;\,Y)$ est presque aligné ; le tableur donne la droite $Y = 0{,}50\,x + 4{,}80$ avec $R^2 = 0{,}999$ . 3. Estimer le nombre de vues dans 2 mois (septième mois), puis discuter la fiabilité de cette prévision.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre interpolation et extrapolation ?

Interpoler, c'est estimer une valeur à l'intérieur de la plage des données connues, par exemple entre deux années déjà observées. Extrapoler, c'est prolonger la tendance au-delà des données, par exemple prévoir les ventes de l'année suivante. L'extrapolation est toujours moins fiable, car rien ne garantit que la tendance se poursuive.

À quoi sert un changement de variable en statistiques ?

Quand un nuage de points n'est pas aligné selon une droite, on ne peut pas l'ajuster directement par une droite. En remplaçant une variable par son logarithme ou par son inverse, on transforme parfois le nuage tordu en un nuage presque aligné. On peut alors faire un ajustement affine sur les données transformées, beaucoup plus simple à utiliser.

Que mesure le coefficient de détermination ?

Le coefficient de détermination, noté R deux, est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure à quel point l'ajustement colle aux points. Plus il est proche de 1, mieux le modèle décrit le nuage. Il sert surtout à comparer deux ajustements possibles : on garde celui dont le coefficient de détermination est le plus proche de 1.