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Terminale pro

Coût unitaire d'un atelier avec changement de variable inverse

Énoncé

Un atelier fabrique des sweats personnalisés sur commande. Plus la commande est grande, plus le coût unitaire (prix de revient d'un sweat, en euros) baisse, car les frais fixes sont répartis sur plus d'articles. On note xx le nombre de sweats commandés et yy le coût unitaire.

| xx (sweats) | 2020 | 4040 | 5050 | 8080 | 100100 |
|---|---|---|---|---|---|
| yy (€) | 4646 | 2626 | 2222 | 1616 | 1414 |

Le nuage des points (x ; y)(x\,;\,y) descend puis s'aplatit : il n'est pas aligné. On pose donc le changement de variable X=1xX = \dfrac{1}{x}. 1. Calculer X=1xX = \dfrac{1}{x} pour chaque commande. 2. Vérifier que le nuage (X ; y)(X\,;\,y) est presque aligné. Le tableur donne pour ce nouveau nuage la droite y=800 X+6y = 800\,X + 6. 3. Estimer le coût unitaire pour une commande de 200200 sweats.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer le changement de variable $X = \dfrac{1}{x}$

    On remplace chaque valeur de xx par son inverse X=1xX = \dfrac{1}{x} : 120=0,05\dfrac{1}{20} = 0{,}05 ; 140=0,025\dfrac{1}{40} = 0{,}025 ; 150=0,02\dfrac{1}{50} = 0{,}02 ; 180=0,0125\dfrac{1}{80} = 0{,}0125 ; 1100=0,01\dfrac{1}{100} = 0{,}01.

    | X=1xX = \dfrac{1}{x} | 0,050{,}05 | 0,0250{,}025 | 0,020{,}02 | 0,01250{,}0125 | 0,010{,}01 |
    |---|---|---|---|---|---|
    | yy (€) | 4646 | 2626 | 2222 | 1616 | 1414 |

  2. 2. Vérifier que le nouveau nuage est aligné

    On teste si yy varie proportionnellement à XX en calculant le rapport y−6X\dfrac{y - 6}{X} pour quelques points (où 66 est l'ordonnée à l'origine annoncée) : pour le premier, 46−60,05=400,05=800\dfrac{46 - 6}{0{,}05} = \dfrac{40}{0{,}05} = 800 ; pour le dernier, 14−60,01=80,01=800\dfrac{14 - 6}{0{,}01} = \dfrac{8}{0{,}01} = 800. On retrouve le même coefficient 800800 : le nuage (X ; y)(X\,;\,y) est donc presque aligné, et un ajustement affine y=800 X+6y = 800\,X + 6 est justifié.

  3. 3. Calculer la nouvelle variable pour la commande cherchée

    Pour une commande de x=200x = 200 sweats, on calcule d'abord la valeur correspondante de XX : X=1200=0,005.X = \dfrac{1}{200} = 0{,}005. On remplacera ensuite cette valeur dans la droite d'ajustement.

  4. 4. Estimer le coût unitaire avec l'ajustement

    On remplace X=0,005X = 0{,}005 dans la droite y=800 X+6y = 800\,X + 6 : y=800×0,005+6=4+6=10.y = 800 \times 0{,}005 + 6 = 4 + 6 = 10. Comme yy est un coût unitaire en euros, on obtient 1010 € par sweat. Pour une commande de 200200 sweats, le coût unitaire est estimé à environ 1010 € d'après l'ajustement.
Réponse finale
X=1200=0,005puisy=800×0,005+6=10 €X = \dfrac{1}{200} = 0{,}005 \quad \text{puis} \quad y = 800 \times 0{,}005 + 6 = 10 \ \text{€}
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