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Modéliser le chiffre d'affaires d'une boutique en ligne

Énoncé

Une boutique en ligne de vêtements suit son chiffre d'affaires annuel (en milliers d'euros) depuis son ouverture. On note xx le rang de l'année.
xx1122334455
yy (en milliers d'€)8810,410{,}413,513{,}517,617{,}622,922{,}9

Le nuage monte de plus en plus vite. 1. Calculer Y=ln⁡yY = \ln y pour chaque année (arrondir au centième) et justifier qu'un ajustement affine de (x ; Y)(x\,;\,Y) est pertinent. 2. Le tableur donne pour (x ; Y)(x\,;\,Y) la droite Y=0,263 x+1,816Y = 0{,}263\,x + 1{,}816 avec R2=0,999R^2 = 0{,}999. Estimer le chiffre d'affaires dans 2 ans (soit la septième année). 3. Discuter la fiabilité de cette prévision.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le nuage monte de plus en plus vite : commence par poser Y=ln⁡yY = \ln y pour le redresser, puis vérifie que les écarts de YY sont à peu près constants.
  2. « Dans 2 ans » : les données s'arrêtent au rang 55, donc l'année cherchée est le rang 5+2=75 + 2 = 7.
  3. Après avoir calculé YY au rang 77, reviens au chiffre d'affaires avec y=e Yy = e^{\,Y}. Pour la fiabilité, distingue bien « le modèle colle aux données connues » (R2R^2 proche de 11) et « la tendance va se poursuivre » (pas garanti pour une extrapolation).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer le changement de variable $Y = \ln y$

    On applique ln⁡\ln à chaque valeur de yy : ln⁡8≈2,08\ln 8 \approx 2{,}08 ; ln⁡10,4≈2,34\ln 10{,}4 \approx 2{,}34 ; ln⁡13,5≈2,60\ln 13{,}5 \approx 2{,}60 ; ln⁡17,6≈2,87\ln 17{,}6 \approx 2{,}87 ; ln⁡22,9≈3,13\ln 22{,}9 \approx 3{,}13.
    xx1122334455
    Y=ln⁡yY = \ln y2,082{,}082,342{,}342,602{,}602,872{,}873,133{,}13

  2. 2. Justifier l'ajustement affine après changement de variable

    On calcule les écarts successifs de YY : 2,34−2,08=0,262{,}34 - 2{,}08 = 0{,}26 ; 2,60−2,34=0,262{,}60 - 2{,}34 = 0{,}26 ; 2,87−2,60=0,272{,}87 - 2{,}60 = 0{,}27 ; 3,13−2,87=0,263{,}13 - 2{,}87 = 0{,}26. Les écarts sont quasiment constants (environ 0,260{,}26) : le nuage (x ; Y)(x\,;\,Y) est presque aligné. Un ajustement affine sur les données transformées est donc pertinent (ce que confirme R2=0,999R^2 = 0{,}999, très proche de 11).

  3. 3. Repérer le rang de l'année cherchée

    Les données vont jusqu'au rang 55. « Dans 2 ans » correspond donc à la septième année, soit le rang x=5+2=7x = 5 + 2 = 7. Comme 77 est au-delà de la dernière donnée, il s'agit d'une extrapolation.

  4. 4. Extrapoler $Y$ puis revenir au chiffre d'affaires

    On remplace x=7x = 7 dans la droite : Y=0,263×7+1,816=1,841+1,816=3,657.Y = 0{,}263 \times 7 + 1{,}816 = 1{,}841 + 1{,}816 = 3{,}657. Cette valeur est celle de Y=ln⁡yY = \ln y, il faut revenir au chiffre d'affaires avec y=e Yy = e^{\,Y} : y=e3,657≈38,7.y = e^{3{,}657} \approx 38{,}7. Comme yy est en milliers d'euros, cela représente environ 38 70038\,700 €.

  5. 5. Discuter la fiabilité

    Le coefficient R2=0,999R^2 = 0{,}999 montre que le modèle colle très bien aux cinq années connues : le choix de l'ajustement exponentiel est solide. Mais prévoir 2 ans après la dernière donnée reste une extrapolation : on suppose que la même croissance se poursuit. Or une boutique en ligne peut voir sa croissance ralentir (concurrence, marché qui sature, mode qui change). La prévision de 38 70038\,700 € est donc un ordre de grandeur raisonnable à court terme, mais à prendre avec prudence ; il faudrait l'actualiser dès que de nouvelles données seront disponibles. On estime le chiffre d'affaires de la septième année à environ 38 70038\,700 €, sous réserve que la tendance actuelle se maintienne.
Réponse finale
Y=0,263×7+1,816=3,657puisy=e3,657≈38,7 milliers d’€≈38 700 €Y = 0{,}263 \times 7 + 1{,}816 = 3{,}657 \quad \text{puis} \quad y = e^{3{,}657} \approx 38{,}7 \ \text{milliers d'€} \approx 38\,700 \ \text{€}
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